11
22
21
21
i1
1+ + +
N1 u1 u11 u12
_
1´
i2 2
+
–+
–+
N2 uu221 u22
_ 2´ – –
上图1 和 2 为同名端， 1’ 和 2’ 也为同名端。
（3）同名端 的标记方法：
1)使耦合线圈之一通以施感电流(指定参考方向)，根据载 流线圈的绕向按右螺旋关系确定其它耦合线圈中互感磁 通的方向，再根据互感磁通与所在线圈的绕向按右螺旋 关系一一确定每一个耦合线圈中互感电压的正极性端， 则互感电压的正极性端与施感电流的进端构成同名端。
11
21
N1
N2
i1 1
1´ 2
2´
+ u11 –
+ u21 –
当线圈1 通以电流 i1 时，i1 在线圈1 中将产生自感磁通
11，11交链线圈1产生自感磁通链Ψ11。11的一部分(或全部) 将交链另一线圈2，用 21表示， 21≤11。 21交链线圈 2产
生互感磁通链Ψ21。这种一个线圈的磁通交链另一线圈的现象，
I1 jMI2
+_ +
U
_
1
jL1
jMI1 I2
+_+
jL2
U_ 2
5.耦合系数 k
互感M的量值反映了一线圈在另一线圈中产生磁通的能力， 两个耦合线圈的磁通一般只有部分交链，彼此不交链的部分称漏 磁通。
工程上为了定量地描述 2 个耦合线圈的耦合紧密程度，定
义耦合因（系）数 k 如下:
def
k
|12 | |21 |
互感磁通链前面取j正k 号，反之取负号。
与此相应，各个耦合电感上的电压将等于自感电压与相
应互感电压的代数和。对第 k 个电感有
uk
ukk
ukj
jk
dkk
dt
jk
d kj
dt
Lk
dik dt
M kj
jk
di j dt
式中凡与自感电压同向的互感电压前面取正号，反之取负号。
注意：由于参考方向的选取不同，电压电流关系式中的符号不同： 自感电压看自身线圈电压电流参考方向是否关联；互感电压看该电 压的参考方向与产生此电压的电流参考方向对同名端是否一致。
选择u21和 21的参考方向，使它们符合右螺旋定则，则有
u21
d 21
dt
11
其中 21 N221 。
N1 i1 1+ u11 – 1´ 2+
N2 u21
–2´
21
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
u21
M 21
d i1 dt
( 21 M21i1 )
其中M21称为互感系数， 单位为H(亨)。
i1 M i2
I1 jM I2
++ +* u_1 u_11 u_12L1
* +++ L2 u_21 u_22_u2
++ +* U_1 U_11 U_12 L1
* +++ L2 U_ 21U_ 22U_ 2
u1
u11
u12
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
u21
u22
M
di1 dt
L2
di2 dt
用CCVS进行等效： (相量形式)
下面是利用互感的实际例子。
变压器
变压器
有载调压变压器
小变压器
调压器 牵引电磁铁
整流器
电流互感器
电抗器
1.有关概念：
11
22
21
21
i1
1+ + +
N1 u1 u11 u12
_
1´
i2 2
+
–+
–+
N2 uu221 u22
_ 2´ – –
以 2 个线圈为例(上图所示)：
线圈1(电感为L1)的匝数为N1，线圈2(电感为L2)的匝数 为N2。它们各自的绕向如图。i1为流入线圈1的电流，i2为流 入线圈2的电流，方向如图。线圈各端子的编号如图所示。
第十章 含有耦合电感的电路
magnetically coupled circuits
重点： 1.互感和互感电压 2.同名端的应用
3.含互感电路的计算 4.变压器和理想变压器原理与分析
目录
10-1 互感 10-2 含有耦合电感电路的计算 10-3 耦合电感的功率 10-4 变压器原理 10-5 理想变压器
U1 U11 U12 jL1I1 jMI2
U 2 U 21 U 22 jMI1 jL2 I2
I1 jMI2
++ _
U
_
1
jL1
jMI1 I2
_++
jL2
U_ 2
i1 M i2
++ _*
_ ++
u_1
u_11
u12L1 +
L2
*
u21 +
u_22
_u2
u1
u11
u12
L1
di1 dt
11
i1
1+*+
N1 u1
_
u11
–
1´
2+*+
N2 u2 u21
_
–2´
21
i1 M
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
u2
u21
M
di1 dt
设 i1 2I1 cos( t) , u21 2U21 cos( t u21)
u2
u21
M
di1 dt
则
u21
M
di1 dt
2MI1 sin( t)
称为磁耦合（互感耦合）。 21称为耦合磁通，或互感磁通；
电流 i1 称为施感电流。
当线圈 1 中的电流 i1 变动时，自感磁通11随电流而变
动。根据电磁感应定律，除了在线圈 1 中产生自感电压u11
外，还将通过互感磁通 21在线圈 2 中也产生感应电压，这
个电压称为互感电压，记为u21。如果根据线圈 2 的绕向来
+
L2 *
_u2
i1
M
i2 _
+* u_1 L1
L2 u2 *+
例2： 图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，
M=1H，求两耦合线圈的端电压u1 和u2 。 i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
u1
L1
di1 dt
u2
M
di1 dt
M di2 50 sin( 10t ) dt
同理，当线圈 2 通以电流 i2 时，i2 在线圈 2 中将产生自
感磁通22 ，22交链线圈 2产生自感磁通链Ψ22 。22的一部 分(或全部)将交链另一线圈 1，用 12表示， 12≤22。 12 交链线圈 1 产生互感磁通链Ψ12。 12称为耦合磁通，或互感
磁通；电流 i2 称为施感电流。
M
di2 dt
u2
u22
u21
L2
di2 dt
M
di1 dt
用CCVS进行等效： (相量形式)
I1 jM I2
++ _ *
_ ++
U_1
U_11
U 12
+
L1
L2
*
U+ 21U_ 22U_ 2
U1 U11 U12 jL1I1 jMI2
U 2 U 22 U 21 jL2 I2 jMI1
如以下 2 种情况：
Mkj
*
ij
Mkj
*
ij
* + ukj –
* _ ukj +
ukj
M kj
di j dt
ukj
M kj
di j dt
例1：写出图示电路电压、电流关系式
i1 M i2
+* u_1 L1
ห้องสมุดไป่ตู้
*+ L2 _u2
i1 M i2
+* u_1 L1
+
L2 *
_u2
i1 M i2
+* u_1 L1
一个线圈(电感)可以不止和一个线圈(电感)有磁耦合关 系；当有 2 个以上线圈(电感)彼此之间存在磁耦合时，同名 端应当一对一的加以标记，每对耦合线圈的同名端必须用不 同的符号来标记。
*
1
2
3
1'
2'*
3'
则1 和 2 、1 和 3 、2 和 3 互为同名端。
（4）同名端的实验测定： R S1 i *
11 22
互感磁链与自感磁链比值 的几何平均值
11 L1i1 ， |12 | Mi2 ， 22 L2i2 ， |21 | Mi1
def
0k
Mi2 Mi1
M
1
L1i1 L2i2
L1 L2
当 k=1 时，称之为全耦合现象。 思考 什么情况下 k≈0 ？
1
2
1'
2'
k≈1
说明：
k的大小与 两 个线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有 关。改变或调整它们的相互位置有可能改变耦合因数的大小； 越近k越大，当 L1 和 L2 一定时，也就相应地改变了互感系数 M 的大小。