即 a a n a , a c n a ,
当 nN时 , 恒有
a a n b n c n a ,
即 bna成,立 ln i m xna.
夹逼定理应用
例3 求 li(m 11 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解 n1 1n,
n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
lim1 qn n 1 q
1
qn
lim lim
n1q n1q
1 1 lim qn 1q 1qn
1
1
q
.
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5： 若数 {an}{列 ,bn}{,cn}满足：
a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
取 N m N 1 ,N a 2 ,则 xn当 N时有
a b ( x n b ) ( x n a ) x n b x n a 2 .
上式a仅 b时 当才能 . 故成 极限唯立 一.
收敛数列性质
, 定义2.1 (数列有界的定义) 对数{a列 n}，
若存在一个实数M，对数列所有的项都满足 a n M ,n 1 ,2 ,3 ,
§1.2 收敛数列的性质
收敛数列性质
一、 收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性)若数列收敛, 则其极限唯一.
证明 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
由定义, 0 , N 1 N ,N 2 N , 使 得
N 1,nN 1:xna, N 2, nN 2:xnb
1
1
1annn
由于 lim nn 1 1, 由夹逼定理 ,知 n
lim an 1 1对 a1成.立
n
再 a 设 (0 ,1 )这 , a 1时 1 ,于是
1
liman
n
Байду номын сангаас
1
1
ln im a1n
11. 1
夹逼定理应用
例5 设 0 a 1 a 2 a k 则
lin m a1 na2 n ak nak
又lim n lim1 n n2n n 11
1,
n
lim n lim 1 n n21 n 1n12
1,
由夹逼定理得
li(m 11 1) 1 .
n n 2 1n 2 2 n 2 n
夹逼定理应用
例4 设 a 0求 , :l证 ia m n 1 1 n
证 先 a 1 设 当 n , a 时 ,有
则M 称 是 {an}的上 . 界
相应的, 可以给出有界和有下界的定义
一个数列即有上界又有下界, 则称为有界数列.
定理2.2 (有界性)
若数列{an}收敛，则必有界。
收敛数列性质
定理2.3 (数列极限的保序性）
1o设 ln i m ana, 且 a,则 N当 , nN时 ,有 an;
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN 时 ,有 anbn;
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , x a n { .
收敛数列性质
(2)令ba,则
2
N 1 , 当 n N 1 时 , |a n a | , 即 a n a a 2 b . N 2 , 当 n N 2 时 , |b n b | , 即 b n b a 2 b .
|a n a |b n || |a |b n | b |. 由 a n ， b n 收敛 ,b n 有 ， |b n 界 | 可 M 和 得
0 , N 1 ,n N 1:|a n a | 2 (M 1 ),
N 2,nN 2:|bnb|2(a1),
取 N m N 1 , N 2 } 当 n a , N , 得 | x a n b n a | { .b
取 N m N 1 ,N a 2 } 当 x n , N { , 由 a n 上 b n . 得
(3)用反证(法 2)可 由得 .
注 (3 )中即 a n b n ,也 使a 可 有 b . 有
极限的四则运算
证 (1)由绝对值的三角不等得 式; 可
( 2 ) | a n b n a | | a n b n a n a b n a b | b
s.t
当
nN 2 时 ,有 | bnb|b 2 2.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|b nb|.
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求 ln i m 2 5n n2 2 3 4n n 1 4.
解
原式
2 lim n 5
(3) 先证 lim 1 1
b n n
b
对 |b 2 | 0 , 于 N 1 ,s .t当 n N 1 时 ,
|
bn
b||b|, 2
且此 |bn|时 |b 2|0.
所以当n N1时, 有
| 11||bnb| bn b |bnb|
2 b2
|
bn
b
|
.
极限的四则运算
由于
lim
n
bn
b,
对
0,
N2 ,
3 o设 ln i a m n a ,ln i b m n b ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a n b n , 则 a 有 b .
收敛数列性质
证明 ( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
即 anaa 2;
同理 2 a , N ， 2 ,当 n N 2 取 ,a n ,
证明
ln i a m n ln i b m n ln i c m n .
设 ln i a m n ln i c m n a ,则
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时a 恒 n a 有 , 当 n N 2 时c 恒 n a 有 ,
取 N mN a 1 ,N 2 x }{ ,上两式同时成立,
3
n 4
n
4
n2 1
n2
ln im2ln imn3lnimn42 lnim5lnim n4 lnim n12
2 5
应用举例
例2 设 |q | 1 ,计l 算 i( 1 m q 极 q 2 . .q 限 .n 1 ) n
解 li(1 m q q 2 . .q .n 1 ) n