利用反证法证明圆锥曲线的
光学性质
迤山中学数学组
贾浩
2014.1.1
利用反证法证明圆锥曲线的光学性质
反证法又称归谬法，是高中数学证明中常用的一种方法。

利用反证法证明问题的思路为：首先在原命题的条件下，假设结论的反面成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而说明假设不成立，则原命题得证。

在光的折射定律中，从点P 发出的光经过直线l 折射后，反射光线的反向延长线经过点P 关于直线l 的对称点。

下面结合光的折射定律，利用反证法证明圆锥曲线的光学性质。

一、椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点上。

该命题证明如下：
已知椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上的一个点，过点P 作椭圆的切线l ，2F 关于切线l 的对称点为'2F ，证明：1F 、P 、'2F 三点共线。

证明 假设'2F 不在1F 、P 所在的直线上，连接1F 、'2F ，交椭圆于M 。

则''1212F F MF MF =+，
''1212F F PF PF <+
由122PF PF a +=，'22PF PF =得
'122PF PF a +=，则'122F F a <
又由122MF MF a +=，
'22MF MF < 得 '122MF MF a +>，则
'122F F a <。

这与上式矛盾。

因此，1F 、P 、'2F 三点共线。

二、双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。

该命题证明如下：
已知双曲线的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线右支上的一个点，过点P 作双曲线的切线l ，2F 关于切线l 的对称点为'2F ，证明：1F 、P 、'2F 三点共线。

证明 假设'2F 不在1F 、P 所在的直线上，连接1F 、'2F ，交椭圆于M 。

则''1212F F MF MF =-，
''1212F F PF PF >-
由'122PF PF a -=得
'122F F a >。

又由122MF MF a -=，'22MF MF < 得 '122MF MF a -<，则'122F F a <。

这与上式矛盾。

因此，1F 、P 、'2F 三点共线。

三、抛物线的光学性质
从抛物线的焦点出发的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴。

该命题证明如下：
已知抛物线焦点分别为F ，直线m 为抛物线的准线，P 为抛物线上的一个点，过点P 作直线m 的垂线，垂足为'P 。

过点P 作抛物线的切线l ，F 关于切线l 的对称点为'F ，证明：'F 、P 、'P 三点共线。

证明 假设'F 、P 、'P 三点不共线，由
'PF PF =，'PF PP =得''PF PP =。

又因为直线'PP m ⊥，故'F 在直线m 右侧。

过'F 作直线m 的垂线，交抛物线于点
M ，交直线m 于N ，则'MN MF >，由抛物线的定义得MN MF =，则'MF MF >
由M 在切线l 右侧得'MF MF <，这与上式矛盾。

因此，'F 、P 、'P 三点共线。

在上述的证明过程中，没有利用圆锥曲线的方程，只利用了教材中圆锥曲线的定义，这样就避免了大量的代数计算。

借助于反证法，大大的简化了证明的过程。