x 0 x 2 s x x i 0 n x 3x 0 3 x 2
l 2 s i 2 x t m x e a 1 l s c 2 i x n t e x m a 1 c n x 0 6 x3 x 0 x 3
那 么 l x a g f ( ( x x ) ) i l x a g f ( ( m x x ) ) i m
说明： 把定理中的“ xa ”换成“ x ” 把条件(2)换成
“当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0” 结论仍然成立
定理证明
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❖“零比零”型未定式的定值法 例 例1 1． 求 l s a i ( b 0 ) i m x n x 0 s b ix n 解 解 l x 0 s s i b a l x m i i 0 ( ( i x x n n b a ) ) s s m l x 0 a b x x c c i i i b a n n m b a o o x x s s
x 0
1
解 解 x l 0 i x n l m x n x l 0 i l x x n m n x l 0 i n m x n 1 x x l 0 i n x n m 0
例 例8 8 求 l x x im x 0
解 解lx x i l m e x i l x n e m 0 1 ( 根 据 例 7 ) x 0x 0
九年义务教育五年制小学语 文第三册-5---坐井观天
学习目标
理解课文 培养想象 训练朗读
天无边无 际 ，大得很 哪！
他们飞过大海 城市 草地 树林
§3.2 洛必达法则
•未定式
在函数商的极限中 如果分子和分母同是无穷小或
同是无穷大 那么极限可能存在 也可能不存在 这种极
限称为未定式
记为－0 或 0
x e x x e x x 2 e x
x l n n e ! x 0 i m
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❖其它类型未定式的定值法
未定式0、、00、1、0都可以转化为 “零 比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式
例 例7 7 求 l x n l i x ( n > n 0 m )
解 解ll i x n m li x m li 1 m 0
x x n x n n 1x x n n x
例 例6 6 求 x l e x n x i ( n 为 正 m 整 数 > 0 ) 解 解 lx n i l m n i n 1 l m x n ( n i 1 ) x n m 2
－
还有其它类型的未定式 0、、00、1、0
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❖定理(洛必达法则) 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1) f(x)和g(x)都是当xa时的无穷小(或无穷大) (2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0 ( 3 ) l x a g f ( ( x x ) ) 存 i 在 ( 或 为 无 m 穷 大 )
例 例2 2． 求 l x 1 x 3 x 3 x 3 2 i x x 2 1 m 解 解 l x 1 x 3 x 3 i x 3 2 x x 2 1 m l x 1 ( x ( 3 x 3 i x 3 2 x x 2 ) 1 m ) l x 1 3 x 3 2 x 2 2 i x 3 1 l x 1 m 6 x 6 x 2 i 2 3 m
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❖“零比零”型未定式的定值法
例 例3 3 求 l x 0 x x s 3 i x m in
解 解 lx i s x m l i 1 i c n x m l o s i x 1 m i s n x 0 x 3x 0 3 x 2x 0 6 x 6
ar xctan
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
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•应注意的问题 1 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好
能与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可 能先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽 可能应用 这样可以使运算简捷
例 例1 10 0 求 l x 0 t x 2 s x i x x a m in n 解 解 lt i x a x m lt n i x a x m ls n i 2 x 1 m ec
例 例4 4求 x l i 2 m 1
x
解 解 x l i2 m a 1rx c x l t i a m 1 1 1 x n 2 x l i1 x m 2 x 2 1
x
x 2
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❖“无穷比无穷”型未定式的定值法
例 例5 5 求 x l l x n x ( i n > 0 ) n m 1
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❖其它类型未定式的定值法
未定式0、、00、1、0都可以转化为 “零 比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式
例 例9 9 求 l ( x i t s x ) m a e n c
x
2
解 解 解 解 解 x l x l x l x l i i ( i ( ( i (m m m s m s x s x x s x t t t t e e e e a x a x a x a ) x ) ) ) c c c c x l x n l x n l n x l n i i 1 i 1 1 i 1 c c c c s m s m s m s m x x x x x x x o o x o i i o i i x l x n l x n l n x l n s s s s i i i i s s s c c s c m c m m m x x x x x x i x i i x i o o o o 0 0 n n 0 n 0 n s s s s