2020年高考文科数学《 基本初等函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 幂函数的图像与性质例1 已知幂函数()x f y =的图象过点），（2221，则()2log 2f 的值为( ) A.21B ．21-C ．1-D ．1【答案】A【解析】由幂函数()ax x f =的图象过点），（2221，得22)21()21(==αf ，21=a ，则幂函数()21x x f =， ∴()2122=f ，∴()212log 2=f .故选A . 【易错点】幂函数的运算法则，以及对数的运算公式. 【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数类型()ax x f =.例2 如果幂函数()23212++-=p p x x f ()Z p ∈是偶函数，且在()+∞,0上是增函数，求p 的值，并写出相应的函数()x f 的解析式.【答案】1=p ，()2x x f =.【解析】因为()x f 在()+∞,0上是增函数，所以023212>++-p p ，，所以31<<-p . 又因为()x f 是偶函数且Z p ∈，所以1=p ，故()2x x f =.【易错点】易忘记Z p ∈这一关键条件，以及幂函数在()+∞,0递增时指数的特征.【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数()ax x f =的奇偶性特征，以及幂函数在()+∞,0上是单调递增时幂函数的指数恒为正数.题型二 二次函数的图像和性质（最值）例1 已知()532-+=x x x f ，[]1,+∈t t x ，若()x f 的最小值为()t h ，写出()t h 的表达式 .2【答案】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-+-≤<---≤-+=)23(53)2325(429)25(15)(22t t t t t t t t h【解析】如图所示，函数图像的对称轴为23-=x （1）当231-≤+t ，即25-≤t 时，()()1512-+=+=t t t f t h . （2）当123+≤-≤t t ，即2325-≤<-t 时，()42923-=⎪⎭⎫⎝⎛-=f t h .（3）当23->t 时，()()532-+==t t t f t h . 综上可得22551,22953(),422335.2t t t h t t t t t ⎧⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+->-⎪ ⎪⎝⎭⎩≤≤ 【易错点】首先要注意二次函数的开口方向，然后才可以根据二次函数的对称轴去进行分类讨论. 【思维点拨】所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.例2 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+-=020222x xx x x x x f ，若关于x 的不等式()[]()022<-+b x af x f 恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】作出函数()x f 的图象如图实线部分所示，由()[]()022<-+b x af x f 得()24242222b a a x f b a a ++-<<+--，若0≠b ，则()0=x f 满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以0=b ，所以()0<<-x f a ，且整数解x 只能是3，当42<<x 时，()08<<-x f ，所以38-<-≤-a ，即a 的最大值为8，故选D .【易错点】这是二次函数的复合函数，务必理清楚和掌握函数的图像.【思维点拨】根据数型结合画出函数的图像，然后利用方程的求根公式进行解题. 题型三 指数函数 例1 已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8222022log 4log 4.1log 5<<=<<，所以()()0.82212log 4.1log 5f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即c b a <<.故选C ．【思维点拨】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。

首先根据奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小.例2 设函数1,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________． 【答案】()2log 5a f =0.822log 5,log 4.1,21,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4【解析】当12x >时，不等式为12221x x-+>恒成立；当102x <≤，不等式12112x x +-+>恒成立； 当0x ≤时，不等式为11112x x ++-+>，解得14x >-，即104x -<≤；综上，x 的取值范围为1(,)4-+∞．【思维点拨】本题以分段函数（含指数函数）为载体，求解不等式。

考查了分类思想。

解题需注意； (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()a f f 的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.题型四 对数函数例1 已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是A ．0,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<< 【答案】 D【解析】由图象可知01a <<，当0x =时，log ()log 0a a x c c +=>，得01c <<．例2 若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(1,)-+∞UD ．(,1)(0,1)-∞-U 【答案】 C【解析】由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论.2112220<0()()log log log ()log ()a a f a f a a a a a >⎧⎧⎪⎪>-⇒⎨⎨>->-⎪⎪⎩⎩或0110112a a a a a a a<>⎧⎧⎪⎪⇒⇒>-<<⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或或．例3 若函数xa y =,0(>a 且)1≠a 的值域为{}1|≥y y ，则函数x y a log =的图象大致是( )【答案】 B【解析】由于xa y =的值域为{}1|≥y y ，∴ 1>a ，则x y a log =在()+∞,0上是增函数，又 函数x y a log =的图象关于y 轴对称.因此x y a log =的图象应大致为选项B .【思维点拨】指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围. 题型五 函数的应用例1 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系bkx ey +=(718.2≈e 为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 【答案】24【解析】由已知条件，得b e =192，又()2112248e e e b b k ==+， ∴2111=k e ，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时， 则2433==+bk et . 【思维点拨】重点考察对指数函数应用题的理解和计算.【巩固训练】幂函数的图像与性质1.函数()()mx m m x f 12--=是幂函数，且在()+∞∈,0x 上为增函数，则实数m 的值是()6A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2【答案】B【解析】由题知⎩⎨⎧>=--0112m m m ，解得2=m .故选B .2.已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_____． 【答案】1-【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-． 3.已知幂函数()ax x f =的部分对应值如下表：则不等式()2≤x f 的解集是 . 【答案】[]4,4-【解析】由2122)21(=⇒=αf ，故()4221≤⇒⇒≤x x x f ，故其解集为[]4,4-. 题型二 二次函数的图像和性质（最值）1.已知,,a b c R ∈，函数()2f x ax bx c =++.若()()()041f f f =>，则（ ）.A. 0a >，40a b +=B. 0a <，40a b +=C. 0a >，20a b +=D. 0a <，20a b += 【答案】A【解析】 因为()()()041f f f =>，所以函数图象应开口向上，即0a >，且其对称轴为2x =，即22ba-=，所以40a b +=，故选A .2.已知函数()⎩⎨⎧≤-->-=020122x x x x x x f ，若函数()()m x f x g -=有3个零点，则实数m 的取值范围是_______．【答案】[)1,0【解析】若函数()()m x f x g -=有3个零点，即()x f y =与m y =有3个不同的交点，作出()x f 的图象和m y =的图象，可得出m 的取值范围是[)1,0．3.已知对任意的[]1,1-∈a ，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】()()44224422+-+-=-+-+x x a x a x a x .令()()4422+-+-=x x a x a g ，则由题知，当[]1,1-∈a 时，()0>a g 恒成立，则须⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ，解得1<x 或3>x .故选B .题型三 指数函数1. 已知，则函数和在同一坐标系中的图象只可能是图中的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意，由，函数在R 上为减函数，可排除选项A 、C ，又，则函数的图象是开口向下.故选D.2.已知函数（且）的图象如下图所示，则的值是________．01a <<xy a =2(1)y a x =-01a <<xy a =110a -<-<2(1)y a x =-2y a b =+0a >1a ≠a b-B8【答案】6【解析】由函数（且）过点代入表达式得： ，所以3.与函数 的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示，当时不合题意；时，需要，即，故答案为.题型四 对数函数1.若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（ ）A ．1(,)b a B ．(10,1)a b - C ．10(,1)b a+ D ．2(,2)a b 【答案】Dxy a b =+0a >1a ≠(2,0),(0,3)-2,4a b ==-6a b -=2y a =()101x y a a a =->≠且a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()101xy a a a =->≠且xa y =x x 1>a 10<<a 1>a 10<<a 120<<a 210<<a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当2x a =时，2lg 2lg 2y a a b ===，所以点2(,2)a b 在函数lg y x =图象上．2.如果,0log log 2121<<y x 那么（ ）A ．1y x <<B ．1x y <<C ．1x y <<D ．1y x <<【答案】D【解析】根据对数函数的性质得1x y >>． 3.当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是 （ ） A．(0,2 B．2C． D．2) 【答案】B【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得12a <<，故选B. 4已知1a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a =________，b =_______. 【答案】4 2【解析】设log b a t =，则1t >，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==6.在同一直角坐标系中,函数()ax x f =,()x x g a log =的图象可能是( )【答案】D【解析】因为0>a ,所以()ax x f =在()+∞,0上为增函数,故A 错.在B 中,由()x f 的图象知1>a ,由()x g 的图象知10<<a ,矛盾,故B 错.在C 中,由()x f 的图象知10<<a ,由()x g 的图象知1>a ,矛盾,故C 错.在D 中,由()x f 的图象知10<<a ,由()x g 的图象知10<<a ,相符,故选D.10。