一、数据包络分析法
数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。

这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。

衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。

但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。

例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。

在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。

1.1 数据包络分析法的主要思想一个经济系统或者一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品” 的活动。

虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益” 。

由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单元被称为“决策单
元”（Decision Maki ng Un its , DM）可以认为每个DMl都代表一定的经济含义，它的基本特点是具有一定的输入和输出，并且在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策目标。

1.2 数据包络分析法的基本模型
我们主要介绍DEA中最基本的一个模型一一C2R模型。

设有n 个决策单元（(j = 1 , 2,…，n ），每个决策单元有相同的m 项投入（输入），
输入向量为
x j x 1 j, x 2 j,L T
, x mj 0, j 1, 2, L , n 每个决策单元有相同的s 项产出（输出），输出向量为
y j y 1 j, y 2 j,L
T
, y sj0, j 1, 2, L , n sj
即每个决策单兀有m种类型的输入及s 种类型的“输出” 。

x ij 表示第j 个决策单元对第i 种类型输入的投入量；
y ij 表示第j 个决策单元对第i 种类型输出的产出量；为了将所有的投入和所有的产出进行综合统一，即将这个生产过程看作是一个只有一个投入量和一个产出量的简单生产过程，我们需要对每一个输入和输出进
行赋权，设输入和输出的权向量分别为：
v v1, v2 ,L , v m ,u u1 ,u2 ,L , u s 。

v i
为第
i
类
型输入的权重，u r 为第r 类型输出的权重。

ms
这时，则第j 个决策单元投入的综合值为v i x ij，产出的综合值为u r y rj，我
i 1 r 1
们定义每个决策单元DMU j 的效率评价指数：
i1ViXij
模型中X j ，y 为已知数(可由历史资料或预测数据得到)
，于是问题实际上是确定一
组最佳的权向量 V 和U ，使第j 个决策单元的效率值 片最大。

这个最大的效率评价值是该 决策单元相对于其他决策单元来说不可能更高的相对效率评价值。

我们限定所有的
hj 值
(j=1,2,…,n)不超过1,即卩maxhj < 1。

这意味着，若第 k 个决策单元hk=1，则该决策单元 相对于其他决策单元来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若 hk<1，那么
该决策单元相对于其他决策单元来说， 生产率还有待于提高，
或者说这一生产系统还不是有
效的。

根据上述分析，第j 0个决策单元的相对效率优化评价模型为：
s
1
U
r y rj 0
r 1 m
i1V i X
ij
s
1
U r y
rj
r 1
1,j 1,2,..., n
T v M,V 2,L ,V m 0 T
u
U 1,U 2,L ,U s
这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。

为此令
则模型转化为:
写成向量形式有
h
j
r1Ury rj m max"
m
s.t
i1
V i
X
ij
i 1
，
r
tU
r
， V i
X
ij 。

w i tv i
maxh j 。

r
y
rj0
r 1 m
s.t
W i X
ij0
i 1
W i
X
j 0,
j 1,2,…,n
r
，W i 0
,
i 1,2,..m; r 1,2,...,s
max h j0T Y0
T Y j w T X j 0
s.t. w T X 0 1 j 1,2,..., n
w 0, 0
线性规划中一个十分重要，也十分有效的理论是对偶理论，通过建立对偶模型更易于从
理论及经济意义上作深入分析,其对偶问题为：
min
n
j x j x0
j1 n S.t.
y j y0
j1j
j0,j1,2,L , n
无约束
进一步引入松弛变量s 和剩余变量s ，将上面的不等式约束化为等式约束：
min
n
j x j s x0
j1
n
s.t. j 1j y j s y0
j 0, j 1,2,L ,n
无约束s 0,s 0
*，s*，*，则有如下结论与经济含义：
设上述问题的最优解为
(1)若* 1，且S 0,S* 0，则决策单元DMU j°为DEA有效，即在原线性规划的解中存在w* 0, * 0，并且其最优值h*j01。

此时，决策单元DMU j0的生产活动同时为技术有效和规模有效。

( 2)，但至少有某个输入或者输出松弛变量大于零。

则此时原线性规划的最优值h*j1 ，称DMU j0为弱DEA有效，它不是同时技术有效和规模有效。

(3)若1,决策单元DMU j o不是DEA有效。

其生产活动既不是技术效率最佳，而不是规模效率最佳。

(4)另外，我们可以用C2R模型中j的最优值来判别DMU的规模收益情况。

若存在
*j 1,2,L ,n ，使*j 1成立，则DMU j0为规模效益不变；若不存在
j
*j 1,2, L , n，使*j 1成立，则若*j1，那么DMU j0为规模效益递增；若不
j
存在* j 1,2,L ,n，使* 1成立，则若* 1,那么DMU j0为规模效益递减。

技术有效：输出相对输入而言已达最大，即该决策单元位于生产函数的曲线上。

规模有效：指投入量既不偏大， 也不过小，是介于规模收入收益由递增到递减之间的状
$= 1。

可见，在芒只模型下的
以A,B,C 表示，其中点A C 在生产曲线上，点B 在生产曲线下方。

由 3个决策单元所确定的 生产可能集T 也在图中标出来。

min
2 1 4 2
s.t 2 1
5 3 2 3.5 3 2
(1,o,o )T , 0
B,它不是“技术有效” 这是因为它的投资规模太大 . 2
其对应的CR 模型如下：
其最优解为
对于决策点 Ag)
,它所对应的CR 模型为
Q
,因为点B 不在生产函数曲线上，也不是“规模有效” DEA 有效，其经济含义
是：既为“技术有效”，也为“规模有效”
例题：下面是具有 3个决策单元的单输入数据和单输出数据
.相应决策单元所对应的点 实际上它处于规模收 DMU2是规模有效的。

如果用DEA 模型来判断 DEA 有效性，只有
DMU2对应的最优值
min
2 1 4 2 s.t 2 1
5 3 4 3.5 3 1 0
其最优解为0 (1/2,0,0)T, 1/4:
由于9<1,故B点不是DEA有效，由
j 1
,知该部门的规模收益是递增的
对于决策点C,,因为点太大,所
以不是“规模有效”
其对应的C2R模型如下min
C是在生产函数曲线上它是“技术有效”，但由于它的投资规模
2 1 4 2 s.t 2 15 3
3.5 3
3.5
其最优解为(7/4,0,0)T, 07/10
由于9<1,故C点不是DEA有效，由知该部门的规模收益是递减的
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