学科：数学
教学内容：高二上学期数学综合练习题
一、选择题
1．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋32a ，c －b ＝4－4a ＋2a ，则a 、b 、c 的大小 关系是（ ）．
（A ）c ≥b ＞a （B ）a ＞c ≥b
（C ）c ＞b ＞a （D ）a ＞c ＞b
2．设a 、b 为实数，且a ＋b ＝3，则b a 22+的最小值为（ ）
（A ）6 （B ）24
（C ）22 （D ）8
3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么系数a ＝
（A ）－3 （B ）－6
（C ）23- （D ）3
2 4．不等式0|22|33>+->+-x x
x x x 且的解集是（ ）． （A ）{}20|<<x x
（B ）{}5.20|<<x x
（C ）{}
60|<<x x
（D ）{}30|<<x x
5．直线0323=-+y x 截圆 422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（ ）． （A ）
6π （B ）4
π （C ）3π （D ）2π 6．若),lg (lg 21,lg lg ,1b a Q b a p b a +=
=>>),2
lg(b a R +=则（ ） （A ）Q P R << （B ）R Q P << （C ）R P Q << （D ）Q R P <<
7．已知两条直线1L ∶y ＝x ，2L ∶ax －y ＝0，其中a 为实数，当这条直线的夹角在)12
π,0(内变动时，a 的取值范围是（ ）．
（A ）（0，1） （B ）)3,33(
（C ）)3,1()1,3
3(
（D ）)3,1(
8．直线23
1+-
=x y 的倾斜角是（ ）． （A ）)3
1arctan(- （B ）3
1arctan （C ）)3
1arctan(π-+ （D ）)3
1arctan(--π 9．两圆0222=-+x y x 与0422=++y y x 的位置关系是（ ）． （A ）相离 （B ）外切
（C ）相交 （D ）内切
10．11lg 9lg ⋅与1的大小关系是（ ）．
（A ）111lg 9lg >⋅ （B ）111lg 9lg =⋅
（C ）111lg 9lg <⋅ （D ）不能确定
11．已知椭圆的长轴、短轴、焦距长度之和为8，则长半轴的最小值是（ ）．
（A ）4 （B ）24
（C ）)12(4- （D ）)12(2-
12．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q
p 11+等于（ ）． （A ）2a （B ）a
21 （C ）4a （D ）a
4 二、填空题
13．不等式5|2||1|<+++x x 的解集是 ．
14．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 15．设双曲线)0(122
22b a b
y a x <<=-的半焦距为c ，直线过（a ，0）、（0，b ）两点，已知原点到直线L 的距离为c 4
3，则双曲线的离心率为 ． 16．过点P （2，1）的直线L 交x 轴、y 轴的正向于A 、B 则||||PB PA ⋅最小的直线L 的方程是 ．
三、解答题
17．解不等式1|43|2+>--x x x ．
18．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求光线L 所在直线方程．
19．已知)R ,10(log )(+∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+∈R 2x 试比较)]()([2
121x f x f +与)2
(21x x f +的大小，并加以证明．
20．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴，而且被直线2x －y ＋1＝0所截弦长为15，求抛物线的方程．
21．在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴上给定A 、B 两点，在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取得最大值．
22．在面积为1的PMN ∆，,2
1tan =
M ,2tan -=N 求出以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆的方程．
参考答案
一、选择题
ABBCC BCDCC CC
二、填空题
13．{};14|<<-x x 14．［9，＋∞］；15．2；16．x ＋y －3＝0．
三、解答题
17．原不等式等价于
（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧+>--≥--.
143,04322x x x x x 或（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧+>---<--.
1)43(,04322x x x x x ⎩⎨⎧<<-<<-⎩
⎨⎧-<>≤≥⇒.31,41,15,14x x x x x x 或或或 .13135-≠<<-<>⇒x x x x 且或或
∴ 原不等式的解集为}{1.3135|-≠<<-<>x x x x x 且或或．
18．已知圆的标准方程是,1)2()2(22=-+-y x 它关于x 轴的对称圆的方程是.1)2()2(22=++-y x
设光线L 所在直线方程是
).3(3+=-x k y
由题设知对称圆的圆心C ′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2=++=
k k d ． 整理得,01225122=++k k 解得3
443-=-=k k 或． 故所求的直线方程是)3(433+-
=-x y ，或)3(343+-=-x y ， 即3x ＋4y －3＝0，或4x ＋3y ＋3＝0．
19．2121log log )()(x x x f x f a a +=+2log )2(
),(log 12121x x x x f x x a a +=+=． ∵ 1x 、+∈R x 2， ∴ 22121)2
(
x x x x +≤． 当且仅当1x ＝2x 时，取“＝”号． 当1>a 时，有)2
(
log )(log 2121x x x x a a +≤． ∴ ≤)(l o g 2121x x a )2(l o g 21x x a +≤．)2
(log ]log [log 212121x x x x a a a +≤+． 即)2
()]()([2121
21x x f x f x f +≤+． 当10<<a 时，有a a x x log )(log 21≥⋅221
)2
(x x +． 即).2
()]()([212121x x f x f x f +≥+ 20．设抛物线的方程为ax y =2，则 ⎩⎨⎧+==.12,2x y ax y 把②代入①化简得
01)4(42=+-+x a x ③
设弦AB 的端点),(11y x A 、),(22y x B ，则1x 、2x 是方程③的两实根，由韦达定理，得 4
1,442121=-=+x x a x x ． ∵ 2=k ，由公式
2212)(1x x k d -⋅-=
∴ 212214)(515x x x x -+⋅= ＝4
14)44(52⨯--⋅a ． ① ②
化简整理，得048-8-2=a a ，解得1a ＝12，2a ＝－4．故抛物线的方程为2y ＝12x ，或2y ＝－4x ．
21．设βα=∠=∠BCO ACB ,，再设),0(a A 、B （0，b ）、C （x ，0）．则,)tan(x a =+βα x b =βtan ． ])tan[(tan ββαα-+=
2
1tan )tan(1tan )tan(x ab
x b x a +-=⋅++-+=ββαββα ab b a x
ab x b a x ab x b a 22-=⋅-≤+-=． 当且仅当,x ab x =∵,2ab x =，∴,时ab x =αt a n 有最大值，最大值为ab
b a 2-， ∴ x y tan =在)2π,0(内为增函数．∴ 角α的最大值为ab
b a 2arctan -．此时C 点的做标为).0,(ab
图1 图2
22．以M 、N 所在直线为x 轴，以线段MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．
设所求椭圆方程为,122
22=+b
y a x 分别记M 、N 、P 的坐标为M （－c ，0）、N （c ，0）、P （0x ，0y ）． ∵ )πt a n (t a n P N M ∠-=α2
1t a n ,2)2(t a n ==--=∠-=M P N M ． 则得c x c y c x c y +=--=-0000)(2)(2和．由此
解得c y c x 3
4,3500==． 又由,2||c MN =求得△MNP 在MN 上的高为c 34，从而由1=∆MNP S 可得2
3=c ，于是)0,23(-M 、)0,23(N 、)3
32,635(P ， 易得3
15||,3152||==PN PM ． 由椭圆的定义，得,2||||a PN PM =+
∴ 2
15|)||(|21=+=
PN PM a ∴ 4152=a ， 易得32=b ．
故所求椭圆的方程为31542
2y x +1=．。