第四章空间力系本章讨论了空间汇交力系的合成与平衡，介绍了力对点之矩与力对轴的矩的概念与计算，讨论了空间力偶系的合成与平衡，介绍了力对点的矩与力对轴的矩的概念与计算，讨论了空间力偶系的合成与平衡，利用力的平移定理，对空间任意力系进行了简化，得到了空间任意力系的简化结果，并对简化结果进行了分析，建立了空间任意力系的平衡方程，最后对重心的计算进行了讨论。

提示：本章的重点应放在空间任意力系的平衡问题上，而空间任意力系的平衡问题的计算主要是建立在力的投影与力对轴取矩的计算基础上，所以对空间力系的投影与力对轴取矩的计算要相当熟练。

只要空间的概念建立了起来，本章的内容并不难。

一、学习要求1．要求熟悉空间汇交力系、空间力偶系的合成结果；2．熟悉空间任意力系简化的中间结果和最后结果，会计算主矢和主矩；3．掌握力对点的矩的计算、力在坐标轴上的投影和力对轴的矩的计算；4．熟练应用空间任意力系的平衡方程求解物体的平衡问题；5．了解重心的概念及其计算方法。

二、基本内容1．基本概念1）力在空间直角坐标轴的投影(a)直接投影法：已知力F和直角坐标轴夹角α、β、γ，则力F在三个轴上的投影分别为α=XFc o sβY=c o sFγZ=cosF(b)间接投影法（即二次投影法）：已知力F和夹角γ、ϕ，则力F在三个轴上的投影分别为γc o sϕ=Xs i nFγs i nϕY=Fs i nγc o s F =Z 2)力矩的计算(a)力对点之矩在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为k j i k j iF r F M )()()()(0yX xY xZ zX zY yZ Z Y X z y x-+-+-==⨯=k j i F k j i r Z Y X z y x ++=++=其中r 为力F 作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即OABh F M xy Z ∆±=±=2)(F在直角坐标条下有M x (F )=yZ -zY M y (F )=zX -xZ M z (F )=xY -yX（c ）力矩关系定理 力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。

在直角坐标系下有M o (F )=M x (F )i +M y (F )j +M z (F )k（d ）合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即M o (F R )=ΣM o (F )空间力系的合力对任一轴（例如z 轴）之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z (F R )=ΣM z (F )=Σ(xY -yX )3）空间力偶及其等效条件（a ）力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢M 表示。

力偶矩矢M 是个自由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。

（b）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

2．空间力系的简化与合成的最终结果1）空间力系向已知点O简化空间力系向已知点O简化的一般结果为一个作用在O点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。

该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心O的主矩。

主矢与简化中心的选取无关。

一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。

2）空间力系合成的最终结果空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。

具体归纳如下：3．空间力系的平衡条件和平衡方程空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为零。

其基本形式的平衡方程为：ΣX=0 ΣM x(F)=0ΣY=0 ΣM y(F)=0ΣZ=0 ΣM z(F)=0须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。

具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。

此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。

使计算更为简便。

几种特殊力系的平衡方程（a）空间汇交力系ΣX=0ΣY=0ΣZ=0（b）空间力偶系ΣM x(F)=0ΣM y(F)=0ΣM z(F)=0（c）空间平行力系（若各力//z轴）ΣZ=0ΣM x(F)=0ΣM y(F)=0（d）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）∑X=∑Y=∑FM(=)z4．空间力系平衡方程的应用求解空间力系平衡问题的要点归纳如下：（1）求解空间力系的平衡问题，其解题步骤与平面力系相同，即先确定研究对象，再进行受力分析，画出受力图，最后列出平衡方程求解。

但是，由于力系中各力在空间任意分布，故某些约束的类型及其反力的画法与平面力系有所不同。

（2）为简化计算，在选择投影轴与力矩轴时，注意使轴与各力的有关角度及尺寸为已知或较易求出，并尽可能使轴与大多数的未知力平行或相交，这样在计算力在坐标轴上的投影或力对轴之矩就较为方便，且使平衡方程中所含未知量较少。

同时注意，空间力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。

（3）根据题目特点，可选用不同形式的平衡方程。

所选投影轴不必相互垂直，也不必与矩轴重合。

当用力矩方程取代投影方程时，必须附加相应条件以确保方程的独立性。

但由于这些附加条件比较复杂，故具体应用时，只要所建立的一组平衡方程，能解出全部未知量，则说明这组平衡方程是彼此独立的，已满足了附加条件。

（4）求解空间力系平衡问题，有时采用将该力系向三个正交的坐标平面投影的方法，把空间力系的平衡问题转化为平面问题求解。

这时必须注意正确确定各力在投影面中投影的大小、方向及作用点的位置。

5．平行力系中心及物体的重心1）平行力系中心只要平行力系中各力的大小及作用点的位置确定，无论平衡力系中力的方向如何，其合力作用线必定通过确定的一点，该点称为平行力系中心。

其坐标公式为i i i c i i i c i i i c F z F z F y F y F x F x ∑∑=∑∑=∑∑=, ,2）物体的重心 物体的重心是该重力的合力始终通过的一点。

均质物体的重心与中心重合。

物体的重心在物体内占有确定的位置，与物体在空间的位置无关。

物体重心的坐标公式为i i i c i i i c i i i c P z P z P y P y P x P x ∑∑=∑∑=∑∑=, ,三、重点和难点 重点：1．力在空间直角坐标轴上的两种投影法；2．力对轴之矩和力对点之矩的计算及力矩关系定理；3．空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程及其应用；4．各种常见的空间约束及约束反力画法；5．重心的坐标公式。

难点：1．力在坐标轴上的二次投影；2．空间力偶矩矢在坐标轴上的投影；3．解空间力系平衡问题时力矩轴的选取；4．求组合体的形心坐标。

四、学习提示1．利用多媒体课件的演示建立空间概念。

2．计算空间力在坐标轴上的投影有两种方法，弄清各自的适用条件，区分力的轴上、平面上的投影。

3．明确空间力偶矩矢的性质，为什么规定它为自由矢量、如何表示其等效条件，熟悉空间力偶系合成的解析法。

4．力对点之矩是理解空间力系简化与合成的关键，而力对轴之矩是正确列出力矩式平衡方程的基础，故要充分重视力对轴之矩的计算。

计算的方法有4种：（a ）当力臂便于确定时，可直接由定义计算；（b ）一般情况下，常将力沿坐标轴分解，应用合力矩定理计算；（c ）将力沿坐标轴分解之后代入力对轴之矩的分析表达式计算；（d ）利用力矩关系定理计算。

在计算力对轴之矩时准确地分析一个力对某轴之矩的正、负或为零也很重要（若一力与某轴共面，则此力对该轴之矩为零）。

5．通过与平面任意力系对照和比较的方法，来理解空间任意力系向一点简化的方法、主矢和主矩的概念，简化结果、平衡条件及平衡方程，重点介绍力矩轴与投影轴选取原则与方法，简单系统的空间平衡问题。

6．在计算重心坐标时要讲清坐标选取原则，利用对称均质物体的对称性求重心，对组一合法求重心要求熟练应用。

五、课后思考：1、作用在刚体上的4个力偶，若其力偶矩矢都位于同一平面，则一定是平面力偶系吗？若各偶矩矢自行封闭（如图4-1），则一定是平衡力系吗？为什么？图4-1提示解答：力偶矩矢都位于同一平面，不一定是平面力偶系。

平面力偶系各力偶矩矢是相互平行的。

若各偶矩矢自行封闭（如图），则一定是平衡力偶系，把汇交力系的平衡方程0=∑i F 与力偶系的平衡方程0=∑i M 进行比较即知。

2、用矢量积F r⨯计算力F 对点O 之矩，当力沿其作用线移动，改变了力作用点的坐标z y x ,,时，其计算结果有无变化？答案与提示：无变化。

依据矢量叉积的定义。

3、试证：空间力偶对任一轴之矩等于其力偶矩矢在该轴上的投影。

r 表提示：设力偶中一力作用线上一点用A表示，另一力作用线上一点用B表示，以AB示两力作用线间的矢径，写出力偶矩矢在各轴的投影表达式，计算力偶中两力对各轴的力矩，把两者进行比较。

4、轴AB上作用一主动力偶，矩为M1，齿轮的齿合半径R2 = 2R1，如图4-2示。

问当研究轴CD的平衡时，（1）能否以力偶矩矢是自由矢量为由，将作用在轴AB上的力偶搬运到轴CD上？（2）若在轴CD上作用矩为M2的力偶，使两轴平衡，问两力偶矩的大小是否相等？转向是否相反？图4-2答案与提示：不能搬移，因AB和CD不是同一刚体。

大小不相等，转向相同。

分别取两轴画受力图简单求解即可知。

5、空间平行力系的简化结果是什么？可能合成为力螺旋吗？答案：中间结果仍是一主矢和一主矩（主矢和主矩不会平行），最后结果可为一合力、合力偶或平衡。

不可能是力螺旋。

6、（1）空间力系中各力作用线平行于某一固定平面；（2）空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点。

试分析这两种力系最多各有几个独立的平衡方程。

答案：各为5个。

7、传动轴用两个止推轴承支持，每个轴承有3个未知约束力，共6个未知量。

而空间任意力系的平衡方程恰好是6个，是否为静定问题？答案：为超静定问题。

因轴承所受全部主动力和约束力均通过轴线，6个平衡当中的一个力矩方程恒为零，无意义，故实际独立的平衡方程只有5个，是一次超静定。

8、某一空间力系对不共线的3个点的主矩都等于零，问此力系是否一定平衡？答案：一定平衡。

9、空间任意力系向两个不同的点简化，试问下述情况是否可能：（1）主矢相等，主矩也相等；（2）主矢不相等，主矩相等；（3）主矢相等，主矩不相等；（4）主矢、主矩都不相等。

答案：（1）（3）可能；（2）（4）不可能。

10、一均质等截面直杆的重心在哪里？若把它们弯成半圆形，重心的位置是否改变？答案：在杆正中间。