第十讲
1、有三个变电站，共有五条线路，由A变电站向B、C两站供电，电力传输方式如下图所示，只有线路失效才能引起电网失效。
现要求B 和C变电站均需运行，且不能由单一线路供电。
要求：（1）试绘制该电网失效的故障树；（2）给出故障树的结构函数。
（题目有疑义，不要求，结合课上例题掌握基本概念）
第十一讲
（ppt例题，略）
第十二讲
1、（成绩）已知一系统的最小割集为14152345{,},{,},{,},{,}X X X X X X X X ， 123450.001,0.002,0.003,0.0001F F F F F =====。
求系统的最小路集，顶事件发生概率，各单元的重要度，给出系统改进建议。
解：（1）求最小路集（通过对偶树求解） 故障树的结构函数：
14152345()()()()()X X X X X X X X X Φ=
对偶树的结构函数：
1415234514152345124125245134135345()1(1)
1{[(1)(1)][(1)(1)]
[(1)(1)][(1)(1)]}()()()()()()()()()()
D X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Φ=-Φ-=---------==
所以该系统的最小路集为
124125245134135345{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}X X X X X X X X X X X X X X X X X X
（2）求顶事件发生概率（递推方法，直接方法见例题）
14(1)1,(1)(1)(1)C F C K X X ===
14(2)(1)C K X X ==+
1415415(2)(2)(2)()F C K X X X X X X X ==+= 1415145(3)(2)(2)()()C C K X X X X X X X ==++=+ 14545145(3)(3)(3)()F C K X X X X X X X X ==+=
14545141545(4)(3)(3))()C C K X X X X X X X X X X X ==++=++（
14154523(4)(4)(4)()F C K X X X X X X X X ==++
F(4)是相关的，用直接方法化为不相交和
14154523
1423142315234523142312345123451414514523
(4)()()=F X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X =++=++=++++（）
4
1
1441514514145145231414514514231452314523-6
()
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)=6.2110i T F i X X X X X X X X X X X X X X X X X X F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ===+++++=+-+-+--+--+--⨯∑（）
（3）求结构重要度
116
(1)0.375216
st j n I n -=
== (2)(3)0.25
(4)(5)0.375
st st st st I I I I ====
（4）求概率重要度
445454231
45234523-4
(1)(1)(1)(1)(1)(1)=1.999810pr T
I F F F F F F F F F F F F F F F F F ∂=
=+----∂--+--⨯
14314531453
2
-3
(2)=(1)(1)(1)(1)(1)(1)=3.010pr T
I F F F F F F F F F F F F ∂=
--+--+--∂⨯ 14214521452
3
-3
(3)=(1)(1)(1)(1)(1)(1)=2.010pr T
I F F F F F F F F F F F F ∂=
--+--+--∂⨯
4
1151512315231523-3
(4)=(1)(1)(1)(1)(1)=1.099810pr T I F F F F F F F F F F F F F F F F F ∂=
∂-+---+----⨯ 5
1414142314233
(5)(1)(1)(1)(1)=1.099810pr T I F F F F F F F F F F F F F -∂=
∂=-+-----⨯ （5）求关键重要度
-4-4160.001(1)(1) 1.999810 3.22106.2110cr pr F I I T -=
=⨯⨯=⨯⨯ -3
260.002(2)(2) 3.0100.96626.2110cr pr F I I T -=
=⨯⨯=⨯ -3360.003(3)(3) 2.0100.96626.2110
cr pr F I I T -=
=⨯⨯=⨯ 4
-3-26
(4)(5)(4)0.0001 1.099810 1.77106.2110cr cr pr F I I I T
-==
=⨯⨯=⨯⨯
2. 已知一系统的最小割集为1412334{,},{,,},{,}X X X X X X X ，如果每个单元的故障概率均为0.7，近似计算系统故障概率和单元结构重要度。
解：
3
114123341() 1.323i i S P K F F F F F F F ===++=∑
3
212132312341341234()()()()
0.8232
i j i j
S P K K P K K P K K P K K F F F F F F F F F F F ≠==++=++=∑
31231234()0.2401S P K K K F F F F === 123()0.7399P T S S S =-+=
1113(1)0.37528st n I n -=
== 2111
(2)0.12528st n I n -=
== 3113
(3)0.37528st n I n -=
== 4113
(4)0.37528
st n I n -=
==
第十三讲
1、推导定时、定数有和无替换可靠性试验的产品可靠性的点估计值（指数分布） 解：
(1)定时截尾无替换
111
11()N r
N
i i i i i i r t t t t N N N θ===+===+∑∑∑
总总
其中，(1,2,...,)i t i r =为试验记录数据，剩下的N-r 个设备直至试验结束仍然完好，根据指数分布的无记忆性，每个设备的寿命应该为
0t θ+
，则
01
()()N
i
i r t
N r t θ=+=-+∑。
因此，
01
1[()]r
i i t N r t r θ==+-∑
(2)定时截尾有替换
1
0011
011[()()()]()N r
i i r r i i i i t t N N r t N r t t t N r N
t N r
θθθθ+=====+=+-++-++=++∑∑∑
总总 0N t r
θ=
(3)定数截尾无替换
1
1
11
[()()]N
i
i r
i r i t t N N t N r t N θθ=====
+-+∑∑
总总
1
1[()]r
i r i t N r t r θ==+-∑
(4)定数截尾有替换
-1
1
-1-111
1-11
[()()()]-11
[(1)]-1
N r i
i r r i r r i r i i r t t N N r t t t t N r t N r Nt N N r θθθθ+=====+=++-++-++=+-+∑∑∑
总总 r N t r
θ=
第十四讲
1、某设备部件的应力与强度均服从正态分布，已知应力均值
MPa L 52.280=μ，标准差MPa L 24.27=σ；零件的综合强度值为
400.75S MPa μ=，标准差68.01S MPa σ=。
求零件的安全系数与可靠度。
解：（1）求安全系数
400.75
1.43280.52
S L S μμ=
== （2）求可靠度
1.641Z δδμσ=
=== 查正态表，得R=0.9495。