2 2
⎜ ⎜⎜⎝
0−1⎟⎟⎠⎟
,
令 P = ( p1, p2 , p3 ) , 取正交变换 X = PY 代入 f ( x) = X T AX 可得标准型:
七、(14 分) 证明题:
(1). 设 A 为 2 阶实方阵,且 A = −1,试证 A 可对角化.
{ } (2). 设向量组 a1, a2 , a3 , a4 线性无关， b1 = a1 + k1a4 , b2 = a2 + k2a4 , b3 = a3 + k3a4 , b4 = a4
2009-2010 学年第一学期《线性代数 B》期末考试试卷（B 卷）--2
三、（10 分）已知α 1 ，α 2 ，α 3 与 β 1 ，β 2 ，β 3 为所有 3 维实向量构成的线性空间 R3 的两组基,
⎛ 0 2 −1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
α
1 ，α
2，α
3
到
β
1
，β
2
，β
3
的过渡矩阵为
P
=
⎜ ⎜
一、填空题（每空 3 分，共 24 分）
1．已知 4 阶方阵为 A = (α2 , α1, α3 , β1 ) , B = (α1, 2α2 , α3 , β2 ) , 且 A = −4 ， B = −2 ，
则行列式 A + B = 6
。
1131
1000
2. 设行列式 D = 21
0
3 ，Ai j 是 D 中元素 ai j 的代数余子式，则 A41 + A4 2 =
α 2，α 3, α 4
线性无关，α 4
=α1
+α2
+ α 3 .已知向量 β
=α1
+α2
+α3
+α
，试求线性
4
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
值 2 的特征向量,
计算易得 A4 ⎜⎜1⎟⎟
=
24 ⎜⎜1⎟⎟ ,
即
⎜ ⎜
1⎟⎟
为
A4
相应于特征值
16
的特征向量.
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
方程组 A x = β 的通解.
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
当 λ = 5 是解方程组 ( A − 5E ) x = 0 得特征向量ξ2 = ⎜⎜1
⎟ ⎟
,
单位化为
p2
=
⎜⎝ −2⎟⎠
6 6
⎜⎜⎜⎝1−2
⎟ ⎟⎟⎠
,
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
当λ
=
−1是解方程组 ( A + E ) x
=
0 得特征向量 ξ3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟
,
单位化为
p3
=
⎜⎝ 0 ⎟⎠
无关．
⎛ 1 1 1 ⎞−1 ⎛ 1 2 4 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 0 4⎞
B
=
P −1
AP
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 1 ⎟⎠
(2). 反证:假设V 中不存在一组基使 T 在该基下的矩阵为对角阵 Λ , 由 A 与 Λ 相似,
,
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
,
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎛1⎞
无关,
则 R( A) ≥ 3 ,
故 R( A) = 3 ,
由β
=
α1
+α
2
+α
3
+
α
4
知η
=
⎜⎜1⎟⎟ ⎜1⎟
为
Ax
=
β
一
⎜⎝1⎟⎠
⎛1 ⎞
个特解,
由α 4
=α1
+α 2
+ α 3 得ξ
=
⎜⎜1 ⎜1
⎟
⎟ ⎟
为
A
x
设 a1, a2 , a3 为 3 维线性空间V 的一组基, V 上的线性变换 T 在 a1, a2 , a3 下的矩阵为
⎛1 2 4⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 2
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
(1). 求线性变换 T 在V 的基 a1, a1 + a2 , a1 + a3 下的矩阵; (2). 试证V 中不存在一组基使 T 在该基下的矩阵为对角阵.
⎜⎝ −1 0 2 ⎟⎠
求矩阵 B .
解:由 ABA−1 = BA−1 + 3E 得 ( A − E ) BA−1 = 3E ⇒ ( A − E ) B = 3A
由 A* A = A E 两边同时取行列式有 A* A = A* A = A 3 , 从而 A* = A 2 , 直接计算得
4.
向量组α 1 ，α 2 ，"，α
1 −1
−41⎟⎟⎠⎟
,由
A ⎜⎜⎜⎝11⎟⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 −1
1 −1
−41⎟⎟⎟⎠ ⎜⎜⎜⎝11⎟⎟⎟⎠ = 2⎜⎜⎜⎝11⎟⎟⎟⎠ , 故 ⎜⎜⎜⎝11⎟⎟⎟⎠ 为 A 相应于特征
四、（10 分）设 A = (α 1，α 2，α 3，α 4 ) 为 4 阶方阵，其中 α 1，α 2，α 3，α 4 是 4 维列向量，且
⎛1⎞
(1). 设矩阵 A 为二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 所对应的对称阵, 试证 ⎜⎜1⎟⎟ 为 A 与 A4 共同的特征
⎜⎝1⎟⎠
向量. (2). 用正交变换将此二次型化为标准型.
⎛ 1 2 −1⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 2 −1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
解:(1).
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 −1
( ) 得通解 x = k ⎜⎜1⎟⎟ ( k 为任意常数),则γ =
α1 ，α 2 ，α 3
k
⎜⎜1⎟⎟
=
k
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
.
⎜⎝1⎟⎠
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝1 ⎟⎠
( ) 五、（20 分）已知二次型 f x1, x2 , x3 = x12 + x22 + 4x32 + 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2 x3 ,
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
命题教师签名：单海英
审核教师签名：邵嘉裕
课号：122010 课名：线性代数 B
考试考查：考试
此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷
年级 专业
学号
姓名
题号 一
二
三
四
五
任课教师
六
七
总分
得分
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）
⎛ 1 0 0 0⎞
( b1 ,
b2
,
b3
, b4
)
=
( a1 ,
a2
,
a3
,
a4
⎜
)
⎜ ⎜
0 0
1 0
0 1
0 0
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜
⎟
⎝ k1 k2 k3 1 ⎠
1 0 00
⎛ 1 0 0 0⎞
0
由
0
1 0
0 1
0 0
=1≠
⎜
0
知
⎜ ⎜
0 0
1 0
0 1
0 0
⎟ ⎟ ⎟
可逆,
从而
k1 k2 k3 1
⎜
2009-2010 学年第一学期《线性代数 B》期末考试试卷（B 卷）--1
同济大学课程考核试卷（B 卷） 2009—2010 学年第一学期
⎛ 0 −1 0 ⎞
⎛3 0 0 ⎞
5.
已知 3
阶矩阵 A 与 B 相似且
A
=
⎜ ⎜
1
0
0
⎟ ⎟,
则
B 2012
−
2
A2
=
⎜ ⎜
0
3
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
方程 A − λ E = 0 得 A 的特征值为 λ1 = 2, λ2 = 5, λ3 = −1.
⎛1⎞
⎛1⎞
当 λ = 2 是解方程组 ( A − 2E ) x = 0 得特征向量ξ1 = ⎜⎜1⎟⎟ , 单位化为 p1 =
⎜⎝1⎟⎠
3 3
⎜⎜⎜⎝11⎟⎟⎟⎠
,
2009-2010 学年第一学期《线性代数 B》期末考试试卷（B 卷）--3
则
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
R (b1,b2,b3,b4 ) = R (a1, a2, a3, a4 ) , 由{a1, a2 , a3 , a4} 线性无关得 R (b1,b2,b3,b4 ) = R (a1, a2, a3, a4 ) = 4 等于 {b1,b2,b3,b4} 中向量的个数, 故 {b1,b2,b3,b4} 线性
证明向量组{b1,b2,b3,b4} 线性无关． 证:(1). 设 λ1, λ2 为 A 的特征值, 则 λ1λ2 = A < 0 , 从而 λ1 ≠ λ2 , 因此 A 有两个线性无关 的特征向量. A 可对角化.
f (Y ) = 2 y12 + 5 y22 − y32 .
六、（12 分）
(2). 由 b1 = a1 + k1a4 , b2 = a2 + k2a4 , b3 = a3 + k3a4 , b4 = a4 知