/2 s /2 0 sin cos d es r dr s ( )0 sin cos 2 d e s r rdr 0 0 0 2 2 z 0
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/2 1 s s /2 1 s r 1 2 0 sin 2 d (2 ) e d ( s r ) ( )0 cos d (cos ) rd (es r ) 0 0 0 2 4 s 2 z 0 s

2 /2 s 2 /2 0 es r sin cos drd d s ( )0 es r r sin cos 2 drd d 0 0 0 4 4 z 0 0 0
/2 s /2 0 es r sin cos drd s ( )0 es r r sin cos 2 drd 0 0 2 2 z 0 0
24
把上半空间所有地方的散射中子的贡献 统统考虑进来,即对上半空间积分,就得到 从上而下穿过dA的总中子数目。
这个数目就是沿负z方向的分中子流密度 J z 乘以dA
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沿负z方向每秒穿过dA的中子数是
s dA 1 s r J dA ( r ) e cos dV 2 4 V r
4
8
中子输运理论的基本问题之一，就是采用中子角密度 （或中子角通 量密度 ）来描述中子输运过程。 为了得到中子角通量密度 ，需要建立描述中子输运过程的精确方程， 即“玻尔兹曼方程”。
它是一个含有位置r (x,y,z)、能量E(或运动速度v)、运动方向(θ,φ)、 时间t七个自变量的偏微分—积分方程，求解过程非常复杂，只有在 极个别的简单情况下，才能求出解析解。
29
单位时间沿着z方向穿过x y平面上单位面积的净中子数为
1 Jz J J ( )0 3 s z
6
2、中子状态的描述
中子状态: 位置矢量 r (x,y,z)、能量E(或运 动速度v)、运动方向 (θ,φ)、时间t
：单位矢量，模等 于1，方向表示中子的 运动方向，通过极角 和方位角来表示
7
中子角密度：在r处单位体积内和能量为E的单位能量间
隔内，运动方向为 的单位立体角内的中子数目。
同理
1 J － ( )0 4 6 s z
＋ z
0
26
dV r sin d rd dr r 2 sin drd d
27
1 J ( ) 0 推导过程 4 6 s z
z
0
s dA 2 /2 s r ( r ) e cos sin drd d 0 0 0 4 (r ) ( x, y, z ) 0 x( )0 y( )0 z ( )0 x y z J z dA
14
15
中子流密度是向量，可以写成三个分量之和
J J xi J y j J z k
其中三个分量分别称为该方向的分中子流密度，每 个分量可写成两个分量只差
Jx J J
x
x
Jy Jy Jy
J z J z J z
JZ+ 是沿z轴正方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数 JZ- 是沿z轴负方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数
要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解中子输运方 程。这是一个非常复杂和困难的任务. 在本课程中，我们研 究输运理论的简化形式－中子扩散理论。
假设中子通量密度 玻尔兹曼 角分布各向同性 中子扩 输运方程 散方程 假设中子具 有单一能量
本节内容
单群中子 扩散方程
11
二、单能中子扩散方程
1. 菲克定律
2. 菲克定律的推导
3. 菲克定律和扩散方程的使用范围
4. 单能中子扩散方程的建立 5. 扩散方程的边界条件
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1、菲克定律(Fick’s law)
分子扩散现象 • 香水分子的扩散（无风状态） • 墨滴在静水中的扩散 • 血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散 分子扩散是由于分子间的无规则碰撞产生的，使得分子从 密度大的地方向密度小的地方扩散，并且分子扩散的速率 与分子密度的梯度成正比，也就是服从“菲克定律”。 同样，中子的扩散现象也服从“菲克定律”。只不过由于 中子密度（1016m-3）比介质原子核密度（1028m-3）要小 得多，因而中子的扩散主要是中子与介质原子核碰撞的结 果，中子之间的碰撞可以忽略。
分步积分
1 s r 1 [ cos 2 ] [ e ] 2 s 4
s 0 0
/2

0
1 ( ) [ cos3 ] 2 z 3
s 0
/2
0
1 r ( )([re s ] es r dr ) 0 0 s
1 1 r s r ( )0 (lim re [e s ] ) 0 4 6 z r s
(1)介质是无限的、均匀的； (2)在实验室坐标系中散射是各向同性的； (3)介质的吸收截面很小，即a << s (弱吸收介质)； (4)是随空间位置缓慢变化的函数。
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以所研究 的点作为 坐标原点
22
考虑上半空间发生的散射使多少中子 从上到下穿过 dA
• 首先考虑体积元 dV 中的散射中子有多少
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场论知识
• 数量场φ的梯度
grad
• 向量场
J 的散度 div J J
i j k x y z
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哈密顿算符
2 2 2 拉普拉斯算符 2 2 2 2 x y z
2、பைடு நூலகம்克定律的推导
考虑稳态情况，同时假设：
中子扩散理论
主讲：张竞宇
1
反应堆物理的核心问题之一：确定堆内中子通量密度按空
间和能量的分布
第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能 量的分布， φ (E)～ E，即中子能谱 本章，将研究中子通量密度按空间的分布，即φ (r)～ r
2
Contents
引言（输运过程、输运理论及扩散现象） 单能中子扩散方程 非增殖介质内中子扩散方程的解 扩散长度、慢化长度和徙动长度
晚些时候，将运动到介质中的另一位置、以另一能量和另一运动方向出
现，这一现象称之为粒子输运过程。 对于大量粒子而言，其运动形式呈现出一定的统计规律，使得人类对 粒子行为的研究成为可能。那么，用于描述粒子在介质中迁移的统计规 律的数学理论，就统称为粒子输运理论。
5
发展简史：
• 最早的粒子输运理论是以Clausius(1857)、Maxwell(1860)、 Boltzmann(1868)提出的“分子运动论”作为基础发展起来的； • 1872年，Boltzmann建立了著名的Boltzmann方程（又称输运方程） ，当时是用来描述气体从非平衡态到平衡态的过渡过程； • 1910年Hilbert论述了Boltzmann方程解的存在性与唯一性，奠定了粒 子输运理论的数学基础； • 1939年发现中子后，随着核反应堆和核武器的出现，中子输运理论得 到极快发展； • 1943年Wick、Marshak、Mark等人提出并发展了球谐函数方法，使 得高精度地解析求解Boltzmann中子输运方程成为可能； • 1946年Von Neumann 和 Ulam等开发了第一个用概率论方法（Monte Carlo方法）计算中子链式反应的程序； • 1955年Carlson等人提出了离散纵标法(即早期SN方法)； • 在上述方法的基础上，产生了大批应用程序软件。
3
一、引言
输运过程及输运理论 中子状态的描述 反应堆物理与屏蔽计算的基本方法
4
1、输运过程（Transport）以及输运理论
对于自然界的微观粒子(中子、光子、电子、离子和分子等)，在介质 中会发生无规则碰撞，使得单个粒子的运动形式是杂乱无章的，即某一 时刻、在介质中某一位置、具有某种能量与某一运动方向 的粒子，在稍
0
洛必达法则
lim r ' 1 1 r r s ] ) ( )0 ( 0 4 6 z lim(es r ) ' s [e
0
r
1 1 r ( )0 (0 [e s ] ) 0 4 6 z s
0

0
4

1 ( )0 6 s z
• 由于散射中子各向同性地飞向四面八方,飞向 dA的只占一部分. 这一份额等于dA的面积与以 r 为半径的球面积之比,再乘以cos • 此外并非所有飞向dA的中子都能够到达的dA, 沿途的碰撞会使得部分中子 “偏离航向”，此 外还有一部分中子会被介质吸收掉
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能到达dA上的中子数是
dA cos t r s (r )dV e 2 4 r cos dA s r s (r )dV e 2 4 r
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如果某平面与中子流密度 J (r) 方向不垂直， 那么每秒通过该平面上单位面积的净中子 数是
J n n 是该平面的法线方向（单位）向量
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中子流密度与中子通量密度的差别:
• 中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量 • 中子通量密度用于计算核反应率，是标量 • 两者的量纲相同 • 当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子 流数量（大小）相等。
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中子从通量高的地方流向通量低的地方， 通量差别越大，中子 “流量” 越大 菲克定律： J
D
上式中的 J (r) 被称为中子流密度（简称中 子流、或流。Current） . 中子流密度是一个向量, 其方向是通量场的负梯度方向. 其数值等于垂直于梯度方向的单位面积上每秒 穿过的净中子数目。 单位：中子/cm2. S
中子角通量密度：沿方向在单位时间内穿过垂直于这