长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(3)i i -+-=A.B. C. D. 1010-10i 10i-2.已知集合，则满足条件的集合的个数为{0,1}M =M N M = N A.B.C.D. 12343.函数的最大值为，()3sin f x x x =A.B.C.D.244.下列函数中是偶函数，且在区间上是减函数的是(0,)+∞A.B.C. D.||1y x =+2y x -=1y x x=-||2x y =5.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为a b ||||1==a b (2)0-⋅=a b b a b A.B.C.D.30︒45︒60︒120︒6.已知是等比数列前项的和，若公比，则n S {}n a n 2q =1356a a a S ++=A.B. C. D. 131723377.在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为1111ABCD A B C D -11A C 1B C A. B.C. D.0128.在中，内角、、的对边分别为、、，若，则角ABC ∆A B C a b c 1cos 2b a Cc =+为A A. B. C. D. 60︒120︒45︒135︒9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为1.1630.75y x =-dXA. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的(单位:升)，则输入的值为，2.5S =k A. B. C. D. 4.567.51011.已知双曲线的两个顶点分别为、，点为双曲线上除、22221(0,0)x y a b a b-=>>A B P A 外任意一点，且点与点、连线的斜率分别为、，若，则双曲线的B P A B 1k 2k 123k k =渐进线方程为，A. B. C.D.y x =±y =y =2y x=±12.已知函数与，则函数 在区间1()2x f x x -=-()1sin g x x π=-()()()F x f x g x =-上所有零点的和为[2,6]-A. B. C. D. 481216二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. .24log 4log 2+=14. 若椭圆的方程为，则其离心率为 .C 22134x y +=15.函数的图象在点处的切线方程为 .()ln f x x x =+(1,(1))f 16.的三棱锥，则该三棱锥的体（想）积为 .三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.(本小题满分12分)已知是等差数列的前项和，，.n S {}n a n 37a =327S =（1）求数列的通项公式；{}n a n a (2)设,求.13n n b a =-12233411111n n b b b b b b b b +++++18. (本小题满分12分)在四棱锥中,平面平面，,四边形是边P ABCD -PAD ⊥ABCD 2PA PD ==ABCD 长为的菱形，,是的中点.260A ∠=︒E AD (1)求证: 平面；BE ⊥PAD (2)求点到平面的距离.E PAB 19. (本小题满分12分)平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线的方程为.O C 22(0)y px p =>(1)过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交曲线于、两点，经过曲线上C F x C A B C 任意一点作轴的垂线，垂足为.求证: ；Q x H 2||||||QH AB OH =⋅(2)过点的直线与抛物线交于、两点且，.求(2,2)D C M N OM ON ⊥OD MN ⊥抛物线的方程.C20. (本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定[20,25)六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)216362574最高气温天数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率，；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进Y 货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率.Y Y 21. (本小题满分12分) 已知函数.21()()2xf x e x ax a =-+∈R （1）当时，试判断函数的单调性；1a >-()f x （2）若，求证：函数在上的最小值小于；1a e <-()f x [1,)+∞12（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，l 1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩t 0απ<≤轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.x C 212cos 4sin ρρθρθ+=+（1）求圆的直角坐标方程；C （2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值.l C A B ||AB =α23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知，，.0a >0b >2a b +=(1)求证：；222a b +≥(2).1长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C .故选C. (13)(3)10i i i -+-=2. D 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 有.故选D. M N M = N M ⊆3. C 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意可知函数最大值为故选C.4. . B 【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在上是减函数，排除A ，D.故(0,)+∞选B.5. C 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知.故选C.2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b 6. A 【命题意图】本题主要考查等比数列的相关知识.【试题解析】A 由条件可知，所求算式等于.故选A 137. B 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】B 由题意知成角为，余弦值为.故选B. 3π128. A 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】A由正弦定理可知.故选A. 1cos ,602A A ==︒9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D.10. D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知.故选D. 10k =11. C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知，从而渐近线方程为22222223,13y x y x a a a=-=-.故选C.y =12. D 【命题意图】本题是考查函数图象的对称性.【试题解析】D 函数的图象关于点对称，则共有8个零()()g x f x ，(2,1)()0F x =点，其和为16. 故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【命题意图】本题考查对数运算. 52【试题解析】由题意可知值为.5214. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.12【试题解析】.12,1,2a b c e====15. 【命题意图】本题考查导数的几何意义的相关知识.21y x=-【试题解析】由题意可得.1()1,(1)2,(1)1,21f x f f y xx''=+===-16. 【命题意图】本题考查三棱锥的相关知识.13【试题解析】由题意可知其.2111323V=⨯⨯=三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的相关知识.【试题解析】解：（1）由，解得，1127,3327a d a d+=+=111,2a d==-可得.132na n=-（2）由（1），，所求式等于2nb n=111111()4(1)41n nb b n n n n+==-++.1223341111111(141n nb b b b b b b b n++++⋅⋅⋅+=-+18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接，由，是的中点，得，BD2PA PD==E AD PE AD⊥由平面平面，可得平面，，又由于四边形⊥PAD ABCD PE⊥ABCD PE BE⊥是边长为2的菱形，，所以，从而平面.ABCD60=∠A BE AD⊥⊥BE PAD （2）在中，PAB∆2,PABPA AB PB S∆====，所以点到平面.1111322P ABEV-=⨯=E PAB19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x==，从而.||2AB p=2200||2||||QH y px AB OH===（2）由条件可知，，联立直线和抛物线，:4MN y x=-+MN C有，有，设，由有242y xy px=-+⎧⎨=⎩2280y py p+-=1122(,),(,)M x y N x y OM ON⊥，有，由韦达定理可求得，1212x x y y+=1212(4)(4)0y y y y--+=2p=所以抛物线.2:4C y x=20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为，所以这种酸奶一天的需216360.690++=求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y =6450-4450=900； ××若最高气温位于区间 [20,25），则Y =6300+2（450-300）-4450=300；××若最高气温低于20，则Y =6200+2（450-200）-4450= -100.××所以，Y 的所有可能值为900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.3625740.890+++=21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得，()x f x e x a '=-+设，则，()()x g x f x e x a '==-+()1x g x e '=-所以当时，在上单调递增，0x >()0g x '>()f x '()0,+∞当时，在上单调递减，0x <()0g x '<()f x '(),0-∞所以，因为，所以，即，()()01f x f a ''≥=+1a >-10a +>()0f x '>所以函数在上单调递増.（6分）()f x R （2）由（1）知在上单调递増，因为，所以，()f x '[)1,+∞ 1a e <-()1 10f e a '=-+<所以存在，使得，即，即，()1,t ∈+∞()0f t '=0t e t a -+=t a t e =-所以函数在上单调递减，在上单调递増，()f x [)1,t (),t +∞所以当时，[)1,x ∈+∞()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+令，则恒成立，()()2111,2x h x e x x x =-+>()1()0x x x h e =-<'所以函数在上单调递减，所以，()h x ()1,+∞()()21111122h x e <-+⨯=所以，即当时，()211122t e t t -+<[)1,x ∈+∞()min 12f x <故函数在上的最小值小于.（12分）()f x [)1,+∞1222. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为.222410x y x y +--+=（2）将直线的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有，由l 24sin 0t t α-=得，所以或. 32=AB sin α=3πα=23πα=23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）. 2221()22a b a b +≥+=（2）212133(2222a b b a a b a b a b ++=⨯+=++≥=. 1≥。