I等． I等是从不同角度反映了截
S，其数学表达式
(4 -1a )
(4-1b)
(4 -2a )
(4-2b)
式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成
(4-3)
性质：
•若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．
•若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．
•由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用以下公式
(4-4)
(4-5)
式中 A， y ， z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．
即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．
例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．
、两个矩形，则
设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．
数学表达式为
极惯性矩 (4-6)
对 y 轴惯性矩 (4 -7a )
同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b)
由图 4-3 看到所以有
即(4-8) 式 (4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
在任一截面图形中 ( 图 4 —3) ，取微面积 dA 与它的坐标 z 、 y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对 y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为
(4-9)
惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方． I,I,I恒为正值．而惯性积 I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．
当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 ( 或称主形心惯轴 ) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 ( 或称主形心惯矩 ) ．例如，图 4-4 中若这对 yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．
工程应用中 ( 如压杆稳定中 ) ，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即
,
或写成
, （ 4-10 ）
式中 i分别称为截面图形对 y 轴、 z 轴的惯性半径．其量纲为长度的一次方．
例 4-2 已知矩形截面的尺寸 b,h( 图 4-5) ，试求它的形心主惯性矩．
解：取形心主惯性轴 ( 即对称轴 )y,z ，及 dA=dy，代入公式 (I— 7a ,) 得
同理：
例 4-3 设圆的直径为 D( 图 4-6) ，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值．
解： (1) 求惯性矩因为图形对称， y,z 为对称轴，所以 I＝ I
这是较简单的解法．本例也可取出图 4-6 上的微面积 dA ，按积分法来求得。
(2) 求惯性半径
Y,Z的惯性矩已知．有另一对坐标轴 y 轴。
两平行轴
,
z=z+a
（
I可正、可负或为零．
（
式中 I, , 分别表示每个简单图形对自身形心轴的惯性矩、惯性积． a分别表示每个简单图形的形心坐标轴到组合图形 y,z 轴的距离． A表示各简单图形的面积．
例 4-4 已知截面图形尺寸如图 4-8 所示，试求图形对水平形心轴的惯性矩 I．
解： (1) 将图形分成三个小矩形①、②、⑧．
(2) 选参考轴在①的形心上．
(3) 由公式 ( I— 5) 求形心
=
= 124.89
因为 z 是对称轴，故
(4) 由公式 ( I— 12) ．第一式计算 I
=
+
I。
若将坐标轴旋转一角 ( 以逆时针转为正，顺时针转为负，图为正
y． y轴的惯性矩与惯性积为 I. 与
I之间的关系。
y坐标系的坐标为 (y)
（
（ b ）
将 (a) 式分别代入 (b) 式，利用三角函数关系
整理后得到
（ 4-13 ）
(4-13) 式即为惯性矩和惯性积的转轴公式．它反映了惯性矩、惯性积随 a 而改变的规律．将式 (1 —13) 的前两式相加，可得
这说明截面图形对正交轴系的惯性矩之和为一常数．
现在我们来研究 (4-13) 的第三式． I随 a 而改变，当=0 时，相应的坐标轴为主惯性轴，用
y表示，即
(c)
由此求得(4-14)
上式中的和表示了主轴的方位角．
将关系式 (4-14) 代入转轴公式 (4-13) 第一、第二式，运算时利用三角函数关系
(4-15)
的第一式对求一阶导数且令其为零，即可得到惯性矩的极值，即
I.
I
=
=1.84
4) 由式 (4-14) 确定形心主轴的方位
由于, 所以图形对绝对值较小的所确定的形心主轴的惯性矩为最大值，另一轴的惯性矩为最
小值．如图 4-10 所示的图形，对 y0轴的形心主惯性矩为最大值，对 z0轴的形心主惯性矩为最小值。
(5) 由公式 (4-15) 计算形心主惯性矩
=
=3.46
◆
◆。