2
( 1 .3 b )
dxdy
z
2
dxdydz )
Page 4
因为沿z方向温度一致，所以z方向没有热量传递，也即：
T z T
2
z
2
0
(1 .4 )
现在可以计算进入微元体的总能量
E in Q x Q y Q z (1 .5 )
微元体内部产生的能量为

E g dxdydz
2 m
我 们 定 义 P ( F )为 系 数 在 F 中 的 所 有 多 项 式 构 成 的 集 合 。 可 以 验 证 ， P ( F ) 是 向 量 空 间 ， 其 中 的 加 法 单 位 元 是 所 有 系 数 都 为 0的 多 项 式 。
这也是一个n维的向量空间，可以用格拉姆-施密特过程(Gram-Schmidt procedure) 将它们正交化。 正交化有一个好处，就是可以很方便的求出一个向量在此基上的投影
无限维空间
( 1 ,
2
( 1 ,
2 ， ，
， ，
n
, )
下一个向量空间是关于多项式的。我们会发现更多的向量空间的例子
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多项式的向量空间
一 个 函 数 p : F F 称 为 系 数 在 F 中 的 多 项 式 ( p o ly n o m ia l) , 如 果 存 在 a 0 , , a m F 使得 p ( z ) = a 0 + a1 z + a 2 z + + a m z ,z F .
(1 .8 )
微元体内能的增加量为
E ie c T dxdydz (1 .9 )
微元体向外界释放的能量为
E out Q x dx Q y dy Q z dz (1 .6 )
联立以上各式可以得到二元传热方程
(
T
2
x
2

T
2

y
2
) c
T
(1 .1 0 )
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简化问题的提出
因为用数值分析的方法计算这个传热模型所用时间太长， 所以想办法是计算变得简单，高效，即使丢失一些精确度， 但是只要在允许的范围之内即可。
运算简化的思路
RBF （Radial Basis Function）径向神经网络 空间映射 由低维空间去近似逼近高维空间或用高维空间去处理低维空间
s in x u ( x ) d x
2
最小。我们定义内积为

p ( x )， v ( x )

2
p ( x)v( x)dx
５
上 述 问 题 转 化 为 ， 在 向 量 空 间 V （ 1 , x , x , ， ｘ ） 里 面 找 一 个 向 量 v ， 使 得

s in ( x ) v =
U 是 V 的 一 个 子 空 间 ， 如 果 ( e1 , , e m ) 是 U 的 规 范 正 交 基 ， 那 么 对 于 每个vV都有 PU v v , e 1 e 1 v , e m e m .
Page 9
一个重要的命题
设 U 是 V 的 子 空 间 ， 并 且 v V ,则 v PU v v u , u U . 进 一 步 ， 若 u U 使 得 上 面 的 不 等 式 是 等 式 ， 则 u PU v .
E in + E
g
= E out +
E ie
(1 . 1)
Qydy
其中：
E i n ——进入微元体的总能量。
Eg
——微元体内热源产生的总能量。
——微元体的内能增加量。
x
y
z
Qx
E o u t ——微元体向外界释放的总能量。 E ie
Qz
Qz +dz
Qxdx
Qy
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微分方程的建立
Qx Q y Qz T x T y T z dydz
对 所 有 v V , 都 有 1v = v ;
分配性质(distributive properties)
对 所 有 a ,b F ,u ,v V ,都 有 a ( u + v )= a u + a v ,( a + b ) u = a u + b u .
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向量空间
一般理解的向量空间的组成是关于向量的，即：
2
T y
(
ห้องสมุดไป่ตู้
dzdx T z z
y
2
dxdydz )
(T Q z dz ( T z
dz) dxdy T
2
dxdydz ) 2 x x 2 T T Q y dy ( dzdx dxdydz ) 2 y y 2 T T Q z dz ( dxdy dxdydz ) 2 z z Q x dx ( T dydz T
1 2 n 1 n
由互不线性相关的n个向量

i
张成的线性空间称为n维线性空间，当
n
时，称为无限维空间，即张成此空间的向量是不能完全列举的否则称为有限维空间。 有限维空间
n 1 , n )
板坯传热模型及其运算简化的思路
——空间映射
连铸板坯的模型建立
V
板坯
y
x
z x
y
z
Page 2
建立传热微分方程
我们将坐标原点建立在分析对象上，然后应用微元法建立描述温度变化的二维 微分方程。我们取分析对象上的一个很小的方体：( d x , d y , d z ) 。 其内侧顶角的 坐标为：( x ,y ,z ) ，外侧顶角的坐标 (x + d x ,y+ d y,z + d z ) 。在单位时间内， 由能量守恒定律可得：
这个命题的重要意义在于使极小化问题的求解显著简化，从而导致了 内积空间在纯数学之外的很多应用。
A
v u Pv U
O
在二维空间里就如图所示
Page 10
应用及启发
用 一 个 最 高 次 数 为 5的 多 项 式 去 在 区 间 [- , ]上 去 逼 近 函 数 y=sin(x),即 使


-
T x x T x
2
dzdx
(1 .3 a )
dxdy
各个面沿坐标方向通过的能 量如(1.3a)和(13.b)所示
dx) dydz T x
2
(T Q x dx (
dydz T y y
dxdydz )
(T Q
y dy
dy) dzdx T

-
s in x u ( x ) d x
2
最 小 。 那 么 令 v PV s in ( x ), 此 时 ，s in ( x ) v 就 是 最 小 的 。
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加法单位元(additive identity)
存 在 一 个 元 素 0 V ， 都 存 在 w V , 使 得 v + w = 0;
加法逆(additive inverse)
对 于 每 个 v V , 都 存 在 w V 使 得 v + u = 0;
乘法单位元(multiplicative identiy)
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向量空间（vector space）
向量空间就是带有加法和标量乘法的集合V，使得下列性质成立： 交换性(commutativity)
对 于 u ,v V ,都 有 u v u + v ;
结合性(associativity)
u , v , w V , a , b F , 都 有 ( u v ) w u ( v w ), ( a b ) v a ( b v );