教案
2016～2017学年度第一学期课程名称思想道德修养与法律基础教学单位计算机系
教研室数学
任课教师陈艺华
职称助教
授课班级2017级各专业
锦州师范高等专科学校
2016～2017学年度第一学期
授课课程：思想道德修养与法律基础授课教师：陈艺华
一、导入新课
1.柯西积分定理及其推论都分别是什么？
2.柯西积分定理推广到复周线的形式是什么？
由以上两个问题导出本节课内容，利用柯西积分定理的复周线形式导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分形式.
二、讲授新课
（一）柯西积分公式 1.柯西积分公式
定理3.9 设区域D 的边界为周线C ,()z f 在D 内解析，在C 连续，则有
证 ()()z D z f F D z 内除在-=
∈∀ςςς,外均解析，以
D z ，使之含于为心作圆周ργ.对于复周线ργ+=ΓC ，有 于是有 ()()⎰⎰
-=-ργςςςςςςd z
f d z f C
只需证
()()⎰=-→ργρπςςςz f i d z
f 2lim 0即可.而
⎰
-=ργςζ
πz
d i 2
图3-4
则
有
()()()()⎰⎰⎰--=
---ρ
ρργ
γγςςςςςςςςd z
z f f d z z f d z f
(3.5)
由()ςf 的连续性 ()()εςδρςςδε<-<=-∀>∃>∀z f f z 有:,0,0.于是(3.5)不大于()()
πεπρρ
ε
ςρεςςςρρ
γγ22=⋅=<
--⎰⎰
d d z
z f f . 定理得证. 2.柯西积分公式的变形式 推论3.10 ()()()D z z f i d z
f C ∈=-⎰
πςςς2
此公式在计算周线积分及证明高阶求导公式中有充分应用，让学生给予充分
重视.
这一步非
常重要，将复杂路径
简化 利用推论可以求周线积分，此
处注意强调z =ς是C 内唯一奇点
满足柯西积分定理
的条件，积分值是0
解 ()()2
cos cos !22cos 1
3
-=+-=-="
=-⎰e e i i i z
i dz i z z
i
z C πππ (2)定理3.12的证明
①证明1=n 情形.即证()()()⎰-=
'C d z f i z f ςςςπ2
21成立 即证()()=∆-∆+→∆z
z f z z f z 0
lim
()()⎰-C d z f i ςςςπ221， 图3.5
即证()()()()
εςςςπ<--∆-∆+⎰C d z f i z z f z z f 221成立.其中 ()()()()()()()ςςςςπςςςπςςςπd z z z f i d z f i d z z f i z z z f z z f C C C ⎰⎰⎰-∆--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--∆--∆=∆-∆+2121211.
设沿周线C ，()M f ≤ς，设d 为z 与C 上点ς间的最短距离.于是当C ∈ς时
0>≥-d z ς.设2
,2d
z z z z d z >∆--≥∆--<
∆ςς，则 ()
)(2
223
2
2
之长为C L d
ML
z d d d M z
d z z z f z C
C
πςπςςςςπ
∆=
⋅∆<-∆--∆⎰
⎰
要使之小于ε.解得
ML d z ε
π3<∆，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ML d d επδ3,2min ，于是有()()()⎰-='C d z f i z f ςςςπ221 ②设k n =时结论成立.即()()()()⎰+-=
C k k d z f i k z f ςςςπ1
2!，当1+=k n 时，有
()()
()
ςςςπd z f i
k C
k ⎰+-+=
2
2!
1定理得证.
简单证法 (按照导数定义证明)： 4.解析函数的无穷可微性
定理3.13 设()z f 在z 平面上的区域D 内解析，则()z f 在D 内具有各阶导数，并且它们在D 内解析。

三、课堂练习
明 关键找δ 先设定一个δ=
2
d 实变函数无此性质
学生总结知识点，教师补充
一、回顾旧知、导入新课 上一节我们了解到，任一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数，本节我们来研究它的逆命题也是成立的，于是得到了解析函数的又一等价定理.
二、讲授新课
（一）泰勒定理
定理4.11 设()z f 在D 内解析，D a ∈，只有圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数，()()∑∞
=-=0
n n
n a z c z f .其中()()()⎰Γ+=-=ρςςςπ!211n a f d a f i c n n n 证 设z 为K 内任意取定的点，存在圆周
()R a <<=-Γρρςρ0:，使点z 含在ρΓ的内部.
由柯西积分公式得()()ςςςπρd z
f i z f ⎰Γ-=
21.其中 其中∑∞
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--0n n
a a z ς一致收敛，()M a f ≤-ςς，二者乘积一致收敛.于是
唯一性 可设另一展式，证明系数相等即可.
图4.1
定理4.12（解析函数等价定理4）()z f 在D 内解析⇔()z f 在D 内任一点a 的邻域内可展成a z -的幂级数，即泰勒级数. （二）一些函数的泰勒展式 例4.4 试将函数()2
+=
z z
z f 按1-z 的幂展开，并指明收敛区间. 解 ()()312
12
212+--=+-=+=z z z z z f
三、课堂练习
将函数()1
1
+-=
z z z f 按1-z 的幂展开，并指明收敛区间. 四、课堂小结
五个初等函数的泰勒展式
五、布置作业
此级数称
为泰勒级数，系数的两个形式分别是积
分式和微
分式 证明关键：
利用柯西积分公式 泰勒定理
证明较难理解，采取分层次教学，有余力学生尽量掌握 一致收敛部分较难理解 唯一性证
明由学生完成 提问解析。