素数的分类摘要：根据任意素数3≥p ，梅森数12-p，存在二元二次方程p k m mkp p 12481-=++-。

且12-p有且仅有一个素因子形如12+kp ，1),2(=k 。

按照梅森数的合素性质判别条件，可以对所有奇素数3≥p 予以分类。

素数分类对于研究梅森素数的无穷性及了解素数分布规律有重要意义。

关键词：素数，分类一，符号的意义1，p ：大于等于3的奇素数。

2，p '：形如14-'n 的奇素数。

3，p ''：形如14+''n 的奇素数。

二，梅森数12-p 的合素性质判别条件与素数分类法1，梅森数12-p 的合素性质判别条件： （1）存在奇数pp k p )18(2121+-<≤，使得12+kp 是素数。

（2）)4(mod 1-≡kp（3）)12(m od 1221++≡-kp a p（4）)12(m od 1)1(2++≡+kp kp a2，素数分类法（1），根据梅森数12-p的合素性质判别条件（2）：知p ，k 具有形式互反性质： 据此把所有奇素数3≥p 分为两个大类。

第一大类：存在于等差数列3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，…，14-'n中的素数p '。

第二大类：存在于等差数列1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，…，14+''n中的素数p ''。

设12+''p k |12-'p ，1),2(='k ；12+''''p k |12-''p ，1),2(=''k ；则 存在（a ）{1414+'='-'='m k n p ，（b ）{1414-''=''+''=''m k n p 两种不同对应形式。

（2）,根据梅森数12-p 有且仅有一个素因子形如12+kp ，1),2(=k 。

即每个奇素数p （关于梅森数12-p）对应唯一的一个奇数k 。

据此把每个大类的素数按照其对应的奇数k ，分为各个子类。

3，-p 矩阵与-q 矩阵对于第一大类的素数，一般的，设14-'='n p ，14+'='m k令j n i 2='，1),2(=j ，则12142-=-'='+j n p i 。

再令12+=l j ，,2,1,0=l …，,2,1,0=i …；则)12(21)12(212142322-+=-+=-=-'='++++i i i i l l j n p （1） 可见：素数p '存在于行号i ，列号l 构成的矩阵之中。

称形如式（1）构造的矩阵为-'p 矩阵。

对式（1）顺序取自然数值行号i ，列号l ，形成以122-+i 为0列元素的-'p 矩阵。

-'p 矩阵： )12(223-+='++i i l p3 11 19 27 35 43 51 59 67 75 83…7 23 39 55 71 87 103 119 135 151 167 …15 47 79 111 143 175 207 239 271 303 335…31 95 159 223 287 351 415 479 543 607 671……性质：矩阵中没有相同的元素。

证：若不然，即设12p p '='，于是 0)12(2)12(2)12(2)12(2121121112221213213223=-+--+=-+-+-+++++i i i i i i i i i i l l l l l 上式表明，当且仅当12i i =，12l l =时等式成立。

故然。

由此推知，可按第一大类素数p '对应的14+'='m k ，取,3,2,1,0='m …所得k '值，分为各个子类。

12-'p 的素因子12+''='p k q ，1),2(='k ，与行号i ，列号l 的-'p 矩阵的关系是：1)]12(2)[14(21223+-++'=+''='++i i l m p k q 1)12)(14(22)14(223+-+'++'=++i i m l m 1)14(22)14(2)14(34++'-+'++'=++m m l m i i )12(2)14(2)14(334+'-+'++'=++m m l m i i （2） 式（2）中,2,1,0='m …；称形如式（2）构造的矩阵为-'q 矩阵。

在给定m '后，对式（2）顺序取自然数值行号i ，列号l ，形成-'q 矩阵。

根据m '的不同取值，可把第一大类的素数中满足p '，12+''='p k q 都是素数时形成的“数对”，从-'p 矩阵，-'q 矩阵的对应行构成的并行异公差数列中筛出。

当0='m 时，1='k ，可知素数p '与12-'p 的素因子12+'='p q 之间的关系仅依赖于p '的形式：)12(21423-+=-'='++i i l n p)12(21234-+=+'='++i i l p q 。

取0i =时， 形如38+='l p 的素数，存在于38+l 的等差数列中；12-'p 的素因子形如7161212+=+'=+'='l p p k q ，q '存在于716+l 的等差数列中； 两等差数列38+l 和716+l 的对应项可以构成“数对”。

很显然，“数对”的等差中项也构成一个等差数列： 512)]716()38[(21+=+++l l l“数对”的两个元素相对于等差中项的公差序列，也是一个等差数列： 24)]38()716[(21+=+-+l l l事实上：取0=i 时有：数对)]716(),38[(++l l 序列：3(，）7，（11，23），（19，39），（27，55），（35，71），（43，87）（51，103） 等差中项序列：5， 17， 29， 41， 53， 65， 77， 公差序列：2， 6， 10， 14， 18， 22， 26，取“数对”是由两个素数组成的项时，可以由“双筛法”筛出。

因为“数对”的差值随项数递增，在等差中项构成的等差数列中存在的两个素数：p '和12+'p ，按照 )1(21+'=p d 对称分布在等差中项两侧。

第二大类的素数分类，可与第一大类的素数分类类比。

第二大类的素数p ''及12-''p 的素数因子12+''''=''p k q ，1),2(=''k 的形式是：)12(21)12(21)2(414232++=++=+=+''=''+++i i i i l l j n p 即 )12(223++=''++i i l p （3）1)]12(2)[14(21223+++-''=+''''=''++i i l m p k q （4）式中1),2(=''k ，14-''=''m k ，0>''m 。

-''p 矩阵： )12(223++=''++i i l p5 13 21 29 37 45 53 61 69 77 58+l 9 25 41 57 73 89 105 121 137 153 916+l 17 49 81 113 145 177 209 241 273 305 1732+l33 97 161 225 289 353 417 481 … … … 65 193 321 449… … … … … … … … …设12+''''=''p k q ，取1=''m ，3=''k ，)723(231234+⨯+⨯=+''''=''++i i l p k q -''q 矩阵：31 79 127 175 223 271 319 … 3148+j 55 151 247 343 439 535 631 … 5596+j 103 295 487 679 871 1063 1255 … 103192+j 199 583 775 967 1351 1735 2119 … 199384+j … … … … … … … … … …参考文献：1初等数论：潘承洞 潘承彪著 1997,6月 北京大学出版社2组合数学：屈婉玲 著 1997，9月 北京大学出版社3王元论哥德巴赫猜想：李文林 1999,9月 山东教育出版社4数学与猜想一，二卷：G ·波利亚 2001,7月 科学出版社5数论导引：G ·H ·Hardy ，E ·M ·Wright 2008,10 人民邮电出版社 6华罗庚文集：（数论卷二） 2010,5月 科学出版社7代数数论：冯克勤 著 2000,7月 科学出版社8与Mersens 数相关的若干性质：百度文库 2017,5月9染尼氏筛法的推衍与应用： 百度文库 2017,6月10Merseny 数12-p 的合素性质判别条件：百度文库 2017,7月。