D E ( ) ，其中 ， 表示沿 x ， y ， z 轴的分量，我们选取 x ， y ， z
沿立方晶体的三个立方轴的方向。
显然，一般地讲，如果把电场 E 和晶体同时转动， D 也将做相同转动，我们将以 D' 表示转
动后的矢量。
设 E 沿 y 轴，这时，上面一般表达式将归结为：Dx xyE, Dy yyE, Dz zy E 。现在
偏转一个角度 tg 。（2）当晶体发生体膨胀时，反射线将偏转角度
tg ， 为体胀系数
3
解：（1）、布拉格衍射公式为 2d sin ，既然波长改变，则两边同时求导，有
2d cos ，将两式组合，则可得 tg 。
（2）、当晶体发生膨胀时，则为 d 改变，将布拉格衍射公式 2d sin 左右两边同时对 d
考虑把晶体和电场同时绕 y 轴转动 / 2 ，使 z 轴转到 x 轴， x 轴转到 z 轴， D 将做相同
转动，因此
D'x Dz zy E
D'y Dy yyE
D'z Dx xy E 但是，转动是以 E 方向为轴的，所以，实际上电场并未改变，同时，上述转动时立方晶体
的一个对称操作，所以转动前后晶体应没有任何差别，所以电位移矢量实际上应当不变，即
第一章：晶体结构 1． 证明：立方晶体中，晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。
证 明 ： 晶 向 [hkl] 为 h1 k2 l3 ， 其 倒 格 子 为
b1
2
a1
a2
a3
(a2 a3 )
b2
2
a1
a3 a1 (a2 a3)
b3
2
a1
a1
a2
(a2 a3)
。可以知道其倒格子矢量
。因此，其面间距为
d 2 。 hb1 kb2 lb3
3． 试写出简单立方，面心立方，体心立方的初基矢量以及相应的倒格矢。 解：简单立方的初基矢量和倒格矢相同，面心立方和体心立方的初基矢量和倒格 矢分别是面心立方的倒格矢为体心立方，体心立方的倒格矢为面心立方。具体讨 论见黄昆版《固体物理》P178. 4． 写出晶体有几大晶系，几个布拉菲格子，几个点群，几个空间群。 解：晶体中 7 大晶系，14 种布拉伐格子，32 个点群，230 个空间群。 5． 写出七大晶系 解：七大晶系分别为：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、 六角晶系、立方晶系。 6． 证 明 ： 立 方 晶 系 中 ， 面 指 数 (h1k1l1) 和 (h2k2l2) 的 两 个 晶 面 夹 角 为
格点可以用
l1a1
l2a2
来描述。如图所示
绕转轴的任意对称操作，转过角度为： ； B 点转到 B' 点，从而得知，该点必有一个格点；
A 点和 B 点是等价的，以通过 B 点的轴顺时针转过 。 A 点转到 A' 点，从而得知该点必有
求导，则有 2d sin 。又有 为体膨胀系数： 3d 。所以得 tg 。
d
3
9． 证明简单立方平面族（hkl）的面间距为 d
a
（晶格常数为 a ）。
h2 k2 l2
解：与第二题同。此处略。
10． 证明晶体点阵转动对称轴只有 1，2，3，4，6。
解：（详见黄昆《固体物理》P30）设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的
再取沿电场[1 1 1]方向，则 Dx xx, Dy
yy , Dz
zz ，皆为
1 E ，绕[1 1 1]转动 2 / 3 ， 3
使 z 轴转到原 x 轴， x 轴转到原 y 轴， y 轴转到原 z 轴，电位移矢量转动后应写成
D'x Dz zz ， D' y Dx xx ， D'z Dy yy ，也皆为
所以得出结论晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。
2．
晶面族(hkl)的面间距
d
与倒格矢
K
hb1
kb2
lb3
的关系是 d
2 K
证明：因为
(hb1
kb2
lb3
)
x
2n
，
n
取不同值代表一个一族晶面系中，不同的晶面。
2 n
如 图 所 示 。各 晶 面到 原点 的 垂 直 距离 ： dn
hb1 kb2 lb3
cos
G G h1k1l1
h2k2l2
h1h2 k1k2 l1l2
。
G G h1k1l1
h2k2l2
(h12 k12 l12 )1/2 (h22 k22 l22 )1/2
0 0 0
7．
证明立方对称晶体中，介电常数张量为对角张量：
0
0
0
0 0 0
解 : （ 详 见 黄 昆 《 固 体 物 理 》 P26 ） 介 电 常 数 按 照 一 般 表 示 为 ：
D' D 。将其带入转动后的变换式就得到 xy zy , zy xy 。表明 xy zy 0 。
如果取 E 沿 z 方向并绕 z 轴转动 / 2 ，显然将可以按相同的办法证明 xy yz 0 。这样
我们就证明了， 的非对角元都等于 0.于是一般表达式将化为 D E ( x, y, z) 。
1 E 。和前面论证一样，电场 3
实际未变，晶体所经历的是一个对称操作，晶体也完全不变，所以 D' 应和 D 相同。从而可
0 0 0
以得到 xx
yy
zz
0 。由此得到介电常数张量为对角张量：
0
0
0
。
0 0 0
8． 证明：在晶体的 x 射线衍射中 为布拉格角，（1）如果波长改变，则反射线
Ghkl 平行于晶向。同时对于晶面（hkl）可以得到倒格子矢量与其垂直。证明如下：
因为
ai
bj
2 ij ， Ghkl
hb1
kb2
lb3 ，如图所示：
CA
a1 h
a3 l
CB
a2 k
a3 l
（上图中 h1, h2 , h3
分别对应
hkl），很容易证明
Ghkl CA 0 ， Ghkl CB 0 。因此 Ghkl 与晶面族（hkl）正交。
cos
(h12
h1h2 k1k2 l1l2 k12 l12 )1/ 2 (h22 k22
l21l1 相互垂直。面指数为(h2k2l2)的晶面与倒格
矢 Gh2k2l2 垂 直 。 因 此 两 个 晶 面 的 夹 角 即 为 两 个 倒 格 矢 的 夹 角 。 因 此 其 夹 角 为