如果 c 是可逆元，由于
1 1 an (1 a)(1 a a2 ... an1 )
并且 c1a 也是幂零元，所以 1 (c1a) 是可逆元，故 1 c a c(1 (c a)) 是可逆元。 10
2、左理想，右理想，理想 （1）定义：I是环R的左理想,如果对I中任意两个元
的任意一个不属于H的元素。从而对任意两个不属于 1 H的元素a和b,有aH=bH. 如果存在h H, 使得 aha H
则 aH
aha 1H ,于是 H ha1H ,故 a H ,矛盾。
因此 aha 1 H ,即H是G的不变子群。 例3：设A，B是群G的两个子群，证明：如果AB是G的子 群，则AB=BA. 4
2 i j2
n i jn
(2) 循环表达，如：
1 2 3 4 1 2 3 4 5 (1 4 2 3), (1 2 5 4) 4 3 1 2 2 5 3 1 4
6
例：计算
(2 31)(1 2 4 3) (13 2 4),(1 2 3)(13 2) (1)(2)(3) (1)
解： f ( x) g ( x) x 4 2 x3 5 x 2 2 x 5
f ( x) g ( x) 5 x 6 x 5 x 4 3x 3 5 x 2 5 x 4
12
例：在 Z8 中求元素 5 的逆元。 解：由于
5 5 3 8 1
一、群论 二、环论
1
一、群论：
1、群的定义，子群，不变子群 例1：设G={a, b, c}, 其乘法表如下：
a b c
a a a a
b b b b
c c c c
证明：G是半群，但不是群。 2
证明：因为对任意G中三个元素 x, y , z
( xy) z z x( yz )
(1 3 2)
(12) (12)
(132) (23) (12) (13)
(1)
(123)
7
3、群的同态
例：设G是群，f : G G : x
x1是群同态的充分
必要条件是G是交换群。
证明：对任意 x, y G, f 是群同态，则
x1 y 1 ( xy)1 y 1 x1
从而 xy yx ，即G是交换群。
素a, b,有 a b I,并且对任意 a I , r R 有 ra I .
类似有右理想，理想（双边理想）的定义.
(2) 如果I是环R的理想，则可构造商环 R I ,运算是
(a I ) (b I ) a b I (a I )(b I ) ab I
则
所以
a b, ra, ar Ker ( f )
f (a b) f (a ) f (b) 0 f (ra) f (r ) f (a) 0 f (ar ) f (a) f (r ) 0
, Ker( f )是理想。
14
22 Z 例：设R= 是整数环上2阶矩阵环，矩阵
1 1 ab d c BA , 即 AB BA, 其中 c A, d B , 于是
所以AB=BA.
5
2、对称群: A={1,2,…,n}上所有双射构成的集合， 并按映射合成构成的群。记为 Sn
（1）运算：
1 2 i1 i2 n 1 in j1 2 j2 n 1 jn i j1
（1） （R，+）是交换群
（2）（R，.）是半群，即有乘法结合律. (3) 乘法对加法有分配律.
1、幂零元，可逆元等 例：设R是交换环，则R中幂零元的和是幂零元， 但幂零元与可逆元的和是可逆元。 证明：设 a , b 是幂零元，an 0, bm 0 于是
k k n mk (a b) n m Cn a b 0 m k 0 nm
是极大理想。
17
8、相伴元，既约元，素元 在整环R中，两个元素 a, b称为相伴元，如
果存在可逆元d使得a=db.
在整环R中，非零非可逆元素p称为既约元，
如果p=ab,则a是可逆元或a与p是相伴元。当然
对于b也是如此。 在整环R中，非零非可逆元素p称为素元，如 果p整除ab，则p整除a或p整除b.
例：模n的剩余类环 Z nZ Z n 其中元素 a nZ,习惯记为 a a nZ 11
3、模n剩余类环中的计算(Zn或Z / nZ ) 例：在 Z6 中计算下面两个多项式的加法运算和乘 法运算：
f ( x) x4 2x3 5x 4
g ( x) 5x2 3x 1
两个理想A，B，若 AB I ,有 A I 或 B I .
设R是环，理想I称为完全素理想，如果对R中任
意两个元素 a, b, ab I ,有 a I 或 b I .
例： Zn Z / nZ 是域当且仅当 n是素数当且仅当 nZ是素理想当且仅当nZ是极大理想。 例：Z中零理想{0}是素理想也是完全素理想,但不
如果G是交换群，则
f ( xy) ( xy)1 y 1x1 x1 y 1 f ( x) f ( y)
所以 f 是群同态。
8
4、循环群
设G是一个群， a G, 称由a生成的子群
a
是G的一个
a 循环子群，特别当G=
这是模n的剩余类加法群. 证明：设G= 于是G={e, a, a2 ,
(13 4 2)1 (1 2 4 3), (2 4 5) 1 (2 5 4), (a1 , a2 , , am ) 1 (a1 , am , am1 ,
(1) (12) (12) (13) (13)
, a2 , a1 )
(123) (123) (132) (132)
例：S3 的乘法表
可分解为若干个既约元的乘积，并且这种分解除
了顺序之外是唯一的。
例、主理想环是唯一分解环，从而欧氏环是唯一分解环。
23
ac 3bd 1, ad bc 0
2 2 2 如果 d 0, 则 d adc 3bd b(c 3d ),
则
由于a,b,c,d都是整数，所以上式是不可能的。故
d=0,同理b=0,于是 a c 1.
20
所以 Z[
3] 的可逆元只能是1或-1.
于是2不是可逆元。但若 2= (a b 3)(c d 3) 则 2= (a b 3)(c d 3) 于是 4= (a
18
素元都是既约元，但反之不对。但在主理想环 中，既约元也是素元。 例、证明 Z[ 3] {a b 3 | a, b Z}是整环， 并且2是该整环的既约元，但不是素元。 证明：首先证明 Z[ 3] 是有单位元1的交换环，然 后证明，该环是无零因子环. 事实上，
(a b 3)(c d 3) ac 3bd (bc ad ) 3 (c d 3)(a b 3), 1 1 0 3
x+3是Q[x]的既约多项式。
例、M=<x+3>是多项式环Q[x]的极大理想，因为
22
9、欧氏环，唯一分解环
欧氏环：整环，且有带余除法的环。具体说，设
R是整环，如果存在R的非零元素集到非负整数
的映射
,使得对R中任意元素a,b， a0
存在R中元素q,r使得b=aq+r,其中r=0或 (r ) (a) 例、整数环Z，数域F上多项式环F[x]都是欧氏环。 唯一分解环：整环，并且每一个非零非可逆元都
所以G是半群，但由于G中没有单位元素， 所以G不是群。因为a不是单位元，否则
b ba a
b 也不是单位元，否则
a ab b
同样，c也不是单位元。
3
例2：设H是群G中指数为2的子群，则H是G的不变子群。
证明：指数为2是说G关于H的左陪集个数只有2个。
因此，G关于H的左陪集可表示为H和aH，其中a是G
故 f 是环的同态，又 f 是双射，所以 f 是环的同构。
15
6、极大理想
例：在有理系数多项式环Q[x]中，证明主理想
< x > 是极大理想。
Q[ x]
x
Q.
所以<x>是极大理想。
例：在整系数多项式环Z[x]中，证明主理想 <x>不是极大理想。 因为 Z[ x]
x
Z
不是域。
16
7、素理想、完全素理想 设R是环，真理想I称为素理想，如果对R中任意
2
+3b )(c +3d )
2
2
2
故 a 1, b 0或c 1, d 0
所以2是既约元。
21
但2|4= (1 3)(1 3) ，并 且2不整除 (1 3)和(1 3)
所以2不是素元。 例、M=<p>是主理想环R的一个非零理想，并且M
R,则M是极大理想当且仅当p是既约元。
(23) (23)
(1)
(1)
(1) (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) (1) (132) (12) (23) (2 3) (23) (132) (123) (1) (13) (12) (1 2 3) (123) (13) (23) (12) (132) (1)
1 A 3
0 1
证明：f : X
AXA1 是环的同态，并问 f 是否为环同构？
证： f 是映射，只须证明 f 保持环的运算
A( X Y ) A1 AXA1 AYA1 AXYA1 AXA1 AYA1
所以
f ( X Y ) f ( X ) f (Y ), f ( XY ) f ( X ) f (Y )