2、假设某消费者的效用函数为U XY=，X和Y表示两种商品，当效用为20单位、X 商品的消费量为5时，Y商品的消费量是多少？这一商品消费组合对应的边际替代率是多少？如果这时的组合是达到消费者均衡的组合，那么X和Y两种商品的价格之比应为多少？①∵U XY=当错误!未找到引用源。

=20时，由X=5得：错误!未找到引用源。

=80。

②边际替代率YXMUMU错误!未找到引用源。

11221=2XMU X Y-③达到均衡时，故：错误!未找到引用源。

.3、已知效用函数为1U X Yαα-=，求商品的边际替代率MRS XY和MRS YX，并求当X和Y的数量分别为4和12时的边际替代率。

解：11113(1)(1)(1)(1)(1)(1)3XXYYYYXXMU X Y YMRSMU X Y XMU X Y XMRSMU X Y Yαααααααααααααααααααα------====------====4、假设某消费者的效用函数为22(,)U U X Y X Y==，消费者的预算线是X YI P X P Y=+，试求该约束条件下的最优化问题，并推导出消费者均衡的一阶条件，再推导出用参数表示的X和Y的需求函数。

解：22max..X YU X Ys t I P X P Y⎧=⎨=+⎩22()X Y L X Y I P X P Y λ=+--220X L XY P Xλ∂=-=∂……（1） 220Y L X Y P Yλ∂=-=∂……（2） 0X Y L I P X P Y λ∂=--=∂……（3） （1）除于（2）可得：X YP Y X P =……（4） 由（4）得：X YP Y X P =……（5） 将（5）代入（3）得：2XI X P =……（6） 将（6）代入（5）得： 2Y I Y P =……（7） 答：（4）式为一阶条件，（6）、（7）式为需求函数。

5、一个消费者每期收入为192元，他有两种商品可以选择：商品A 和B ，他对两种商品的效用函数为U AB =，PA 为12元，PB 为8元。

根据他的收入，他要购买多少数量的A 和B 才能获得最大效用，最大效用为多少？如果商品B 的价格上涨一倍，即16元，要满足他原来的效用水平，需要增加多少收入？解：（1）最大效用问题max ..128192U AB s t A B =⎧⎨+=⎩(192128)L AB A B λ=+--120L B Aλ∂=-=∂……（1） 80L A Bλ∂=-=∂……（2） 1921280L A B λ∂=--=∂……（3） （1）除以（2）可得：23A B =……（4） （4）代入（3）可得：12B = (5)（5）代入（4）可得：8A =代入效用函数可得：81296U AB ==⨯=（2）最小支出问题：min 1216)..96A B s t AB +⎧⎨=⎩ 1216(96)L A B AB λ=++-120L B Aλ∂=-=∂……（1） 160L A Bλ∂=-=∂……（2） 960L AB λ∂=-=∂……（3） （1）除以（2）得：34B A =……（4） （4）代入（3）得：11.31A == (5)（5）代入（4）得：B =271.53I ==271.5319279.53I ∆=-=6、设效用函数为11212(,)()u x x x x ρρ=+，其中，01ρ≠<。

求对应的瓦尔拉斯需求函数。

解: 瓦尔拉斯需求函数是如下最大化问题的最优解:112121122max (,)()..u x x x x s t p x p x I ρρρ⎧=+⎨+=⎩ 建立上述最大化问题的拉格朗日方程:1121122()()L x x I p x p x ρρρλ=++--求偏导可得:1112111()0L x x x p x ρρρρρλ--∂=+-=∂ (1)1112222()0L x x x p x ρρρρρλ--∂=+-=∂……（2） 11220L I p x p x λ∂=--=∂……（3） （1）除以（2）可得:111122x p x p ρ-⎛⎫= ⎪⎝⎭也即：111122p x x p ρ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ (4)将（4）式代入（3）式可得：2111122I x p p p p ρ-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭……（5） （5）式代入（4）式可得：11121111122p I p x p p p p ρρ--⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭……（6） （5）、（6）式即为所求瓦尔拉斯需求函数。

第三章 需求分析四、计算下列各题1、某企业产品的需求函数为150.15d Q P =-，P 为价格，该企业的经理试图将价格从目前的8元提高一些，当价格提高后总收益会如何变化？该企业是否应当提价？为什么？表明缺乏价格弹性，价格变化方向与总收益变化方向相同，提价会提高总收益，故企业应当提价。

2、某企业面临的需求函数为200412d Q P I =-+，其中P 为价格、I 为收入。

设产品价格为25元，当人们的收入为2000元时，收入弹性是多少？该商品是正常品还是劣等品？为什么？分析：需求收入弹性是指消费者收入水平变化1%所带来的消费者需求变化的百分比。

用E I 来表示。

d d ln Q dQ Q dQ P E d ln P dP P dP Q80.15150.1580.091=-=-=-⋅=⨯-⨯=<1、EI>0时，为正常品。

2、EI<0时，为低档品。

IQ Q Q IEI I I Q200012200425122000240000.996024100∆∆==⋅∆∆=⨯-⨯+⨯==>故该商品为正常品。

3、张三通过市场调研得到三种产品A、B和C的如下数据：当A产品的价格提高1%，人们对B产品的需求会增加2%，人们对C产品的需求会减少1.5%。

试确定A 和B及A和C之间的相互关系，并求出A产品对B产品及C产品的交叉价格弹性。

A与B之间存在着替代关系；A与C之间存在着互补关系。

根据需求交叉价格弹性的计算公式：y y y xxyx x x yQ Q Q PEP P P Q∆∆==∆∆g可得：AB0.02E20.01==（替代品）Ac0.015E 1.50.01=-=-（互补品）4、已知一个消费者对牛奶的需求函数为：x=10+w/(10p),其中x为一周内牛奶的消费量，w=120元为收入，p=3元（每桶），现在假定牛奶价格从3元降为2元。

问：（1）该价格变化对该消费者的需求总效应为多少？（即其牛奶消费会变化多少？）（2）请计算出价格变化的替代效应。

（提示：如该消费者维持原消费水平，降价会使他省出多少钱？现在他用多少钱就相当于原来的120元钱？）（3）请计算出价格变化的收入效应。

①带入数据可以直接得出总效用的变动错误!未找到引用源。

=10+120/10*3=14错误!未找到引用源。

=10+120/10*2=16错误!未找到引用源。

价格变化的替代效应：错误!未找到引用源。

(',')'(,)sX X P W X P W∆=-=（错误!未找到引用源。

20）错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

）=1.3价格变化的收入效应为（也可以用总效用减去替代效用就可以得到收入效用）(',)'(',')0.7n X X P W X P W ∆=-=5、假设效用函数为0.52U Q M =+，其中，Q 为商品的消费量，M 为消费者收入。

求：（1）需求函数。

（2）P=0.05，Q=25时的消费者剩余。

解：（1） ....(1)MU Pλ=,它表示消费者对任何一种商品的最优购买量应该是使最后一元钱购买该商品所带来的边际效用和所付出的这一元钱的货币的边际效用相等。

由题意可知，货币的边际效用=2U M λ∂=∂, 边际效用121=2U MU Q Q -∂=∂ 代入（1）式可得，需求函数为0.50.25P Q -=（2）消费者剩余250250.500.50.50.250.50.5250.05252.5 1.251.25cs pdp pQ Q dp pQ Q pQ-=-=-=-=⨯-⨯=-=⎰⎰第四章 技术与生产四、计算下列各题1、生产函数为21618Q KL L =-+-，工人工资为w=8，产品价格为p=1。

计算：（1）短期内K=2，最优劳动投入是多少？（2）最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最大平均产量是多少？解:（1）最优投入=利润最大化由此建立目标函数：max PQ wL rK π=--2max 28218L L r π=-+-- 4802L L L π∂=-+=∂=（2）平均产量函数：18max 16AQ KL L=--+ 由最大化一阶条件可得：218203AQ LL L ∂=-+=∂= 18231643AQ =-⨯-+= 2、假定一家企业的生产函数为13y L =，产出品价格p=3，工资率w=4，固定资本成本为2。

问：（1）最优要素投入量L*。

（2）最优供给量y*。

（3）计算这家企业的利润量。

（4）这家企业应不应关闭？解:（1）企业利润最大化问题 13max 342py wL k L L π=--=--233240110.12548L L L π-∂=-=∂⎛⎫=== ⎪⎝⎭（2）最优供给量13y L **= 31112323110.544y L ⨯**⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）利润为： 1334230.540.12521L L π=--=⨯-⨯-=-（4）该企业平均收益 3==YTR AR 平均成本： 40.125250.5TC wL K AC y y +⨯+==== 平均可变成本：40.12510.5wL AVC y ⨯=== 因为：AC AR AVC >>，错误!未找到引用源。

说明短期内厂商若生产可以弥补部分固定成本，在不生产时损失的为全部固定成本，此时损失小，所以厂商应继续生产，不应关闭。

或者：因为企业关闭后，企业的损失等于固定成本2，但如果坚持经营，那么损失只有1，故企业不应关闭。

3、已知生产函数1212(,)0.5ln 0.5ln f x x x x =+，求利润函数12,(w ,w p)π，并用两种方法求供给函数1,2y(w w ,p)。

解:（1）求解利润函数1122max pf w x w x π=--()121122max 0.5ln 0.5ln p x x w x w x π=+--111110.50.50p p w x x x w π*∂=-=⇒=∂ 222220.50.50p p w x x x w π*∂=-=⇒=∂ 代入利润方程可得：121212120.50.50.50.50.5ln 0.5ln 0.50.50.5ln ln p p p p p w w w w w w p p p p w w π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）供给函数的求解： 解法一（利用生产函数求解）：由于在各个时期厂商都会选择能够获得最大利润的产量来投入要素进行生产，可将得到的错误!未找到引用源。