m1 m2


m1r12 m1 m2
;
的角动量
为： LC
LC r1' p1'r2' p2'



m2r12
u
m1r12
(
u)
m1 m2

r12


u
m1 m2
与一u个的位质矢点为的角r12动，量动相量同为
*计算一个氢原子的角动量时必须用电子—质子系统
mn an
mn
d vn dt

Fn

fn2

fn3

fnn
质心运动定理


对于内力 f12 f21 0, , fin fni 0,

miai



Fi
ac

miai mi


ac
Fi 质心m运i

Fi
于两部分之和： 相对于质心的内动能（固有动能）。
质心平动动能（轨道动能） 。
*一个体系的内能就是指：
内能=质点系各质点 相对于质心的内动能 +质点间相互作用的内势能
*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍
然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系 是惯性系还是非惯性系。（证明从略）
所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。20
（m1r1
m2r2 ) vC

rC
(m1

m2 )vC

r L

r L'

r rC

(m1

m2
r )vC
质心定义
质心相对L系的角动量
相对质心的角动量
外部角动量（轨道角动量）
内部角动量（自旋角动量）
14
相对于L系的外部角动量，就好象这系统
的全部质量都集中在质心上一样。
2. 质心运动定理
设有一个质点系，由 n个质点组成，它的质心
的位矢是：
rc


mi ri m1rm 1 i m2r2

mnrn
m1 m2 mn
质心的速度为

vc

d rc dt


mi
d ri dt
mi

mi vi mi
质心运动定理
M

动定理
Fi Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
3. 动量守恒定律

如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0）， 则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒
C系 rCC
mi riC
i
0
m

rC '
mi ri '
i
0代撇
m
C系
vCC

mi viC
i
0
m

vC
'

i
mi vi ' 0 代撇
m
12
2 质点系相对于实验室参照系(L系)的角动量与它相 对于质心参照系(C系)的角动量之间的关系
以两个质点的系统为例
在质L心系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
r (m1 m2 )vC

r rC

dpC dt



drC dt
(m1
MC rC

m2
)vC


F外

dLC dt
0
rC
rC
dpC
dt

dpC dt
rC F外

MC

dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
质心的加速度为

ac

d vc dt

mi
d vi dt
mi

mi ai mi
由牛顿第二定律得

m1a1
m2a2

m1 m2
d v1 d t d v2 dt


F1 f12 f13 f1n


F2 f22 f23 f2n
在L系中：
v1 v1' vC
z' z m1
rC
x'
O
r1 ' rC2 '
m2
y'
y
v2 v2' vC
18
在L系中：
v1

v1'
vC
v2

v2
'
vC
Ek

1 2
m1v12

1 2
m2
v
2 2

1 2
m1(
v'1

vC
)2

1 2

1 2 (m1
m2 )vC2
22
孤立系统
选C参照系用带撇量表示：质心动能碰撞前后不变


m1v'10 m2v'20 m1v'1m2v'2 0
1 2
(m10v'120 m20v'220
)
Q

1 2
(m1

m12 m2
)v'12

Ek内

1 2

u02
1 2
0 u02
r M

r
M
' C

r rC
r F外
r
M
' C

rr ri ' Fi
i
外力对质心的转矩
合外力作用在 质心上对 O的转矩
15
Q
r M

r
M
' C

rrC
r F外
Q
r L

r L'C

rrC
(m1

m2 )vr C

M

dL
dt
vr
r
r
dL dt

dL 'C dt

drC dt
r L

r L'

rrC

(m1

m2
)vr C
3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该
质点系内部角动量的关系。

以两 个质点的系统为例M
ri


r1

F1

r2

F2

ri 'rC
M r1'F1 r2'F2 rC (F1 F2 )

Q

1 2

v'1

u2
m2 m1 m2
u
当0＝ 时，反应前后质心动能不变，真正有用的能
量是相对动能，所以为提高能量使用率，应减少质心
的动能，采用两个质点对撞。如正、负电子对撞机见
陆果书上pp79 23
例2：求两个质点系统相对于质心的动量和角动量

v1 v1' vC v2 v2' vC
一、质心系
质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系一般是非惯性系，引入惯性力， 在处理二体系统时为惯性系，讨论天体运动及碰撞等问题 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 — 在质心系中考察质点系的运动。
8
质心参照系 1 质心系是零动量参照系 2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该 质点系内部角动量的关系。 4 质点系统相对于L系、C系的动能间的关系
Ek

1 2
m1v'12

1 2
m2 v'22

1 2
(m1

m2
)v
2 C
def
Ek内
1 2
m1v'12

1 2
m2
v'22
质点系相对于质心系 的动能叫做内动能。
19
在L系中： Ek Ek内
i
1 2
mi
v
2 C
相对于质心的 内部运动
质心的平动运动
*例如抛一手榴弹，它相对于地面的总能量等
9
§ 质心参照系
1 质心系是零动量参照系
考虑由质量分别为m1、m2、… mn 的N个质点
组 矢成 量的 分质 别点 为系r1O，, r每2O 个....质..r点nO相；对其于质任心一相点对O于的O位点置的
定义为：
rCO
mi riO
i
;
m
其中m为质心系的总质量，m mi
的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 只受到重力的质点系角动量守恒。
下面的学习中请注意这点。
17
4 质点系统相对于实验室参照系(L系)的动能与它相对 于质心参照系(C系)的动能（内动能）之间的关系
以两个质点的系统为例
在 质心L系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
在 质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及'、v其2'、 x vC' 0