去掉后, 再用 N-L公式.
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1, 当1 x 0时,
例5
已知函数
f
(x)
x,
当0 x 1时,
x 1, 当1 x 2时.
求积分上限的函数 (x)
x
f (t)dt.
1
解
当x [1,0)时,
(x)
x
f (t)dt
x
1dt x 1.
1
1
当x [0,1]时,
cosx
x2
.
解
lim
x0
1 et
cosx
x2
2
dt
lxxilxlmiimm0001eecoscxxcoo2ess2222tx2xxx(d(t ssiinnxx))
定理1 若 f (x) C[a, b] , 则积分上限的函数
x
y
(x) a f (t) d t
y f (x)
是 f (x)在[a , b]上的一个原函数 .
( x) f ( )
证明 x, x h[a, b] , 有
Oa
x
•
•
xh
b
x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t)
dt
x
a
f
(t) d
t
d
dx
u2(x) f (t)dt
u1( x)
f [u2(x)]u2 (x) f [u1(x)]u1(x).
例7 设f (x) ex2 tdt, 求f (x). x3
解 f (x) ex2 (x2 ) ex3 (x3) ex2 2x ex3 3x2
1 et2 dt
例87
求 lim x0
第五章
第二节
定积分及其应用
微积分基本公式
主要内容：
一、位置函数与速度函数之间的联系； 二、积分上限的函数及其导数； 三、牛顿莱布尼茨公式.
1
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一、位置函 在t时刻物体所经过的
路程为S(t), 速度为vv(t)S(t)(v(t)0), 则在时间间隔[T1, T2]内 物体所经过的路程S可表示为
b
a
f
(x)dx
F(b) F(a)
.
证证明明
设
(x)
x
a
f
(t)dt
,
则也是 f(x)的原函数.
因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数, 所以存在常数C, 使
F(x)(x)C. 由F(a)(a)C及(a)0, 得CF(a), F(x)(x)F(a).
由F(b)(b)F(a), 得(b)F(b)F(a), 即
F (b)
F(a)
.
牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数
或不定积分之间的联系.
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若 F(x)是 f(x)的原函数,
则
b
a
f
(x)dx [F(x)]ba
F(b) F(a)
.
例例31
计算
11
2 x
dx
.
解解
1
2
1 x
dx
[ln
|
x|]12
ln1
ln
2
ln
2
.
例2 计算正弦曲线ysin x在[0, p]上与x轴所围成的平面
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例6 设f(x)连续, u1(x), u2(x)可导, 则有
d
dx
u2(x) f (t)dt
u1( x)
f [u2(x)]u2 (x) f [u1(x)]u1(x).
证明 设F(x)为f(x)的一个原函数, 则有
u2 ( x) u1 ( x)
f
(t )dt
F[u2 (
x)]
F[u1( x)]
S (T2 )
S (T1)
及
T2v(t)dt
T1
,
即
即
T2v(t)dt
T1
S(T2) S(T1)
.
上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1, T2]上的定积分等于v(t) 的原函数S(t)在区间[T1, T2]上的增量.
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
2
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二、积分上限的函数及其导数
解 汽车刹车时的初速度为
v0
36km/h
361000 3600
m/s
10m/s
.
刹车后 t 时刻汽车的速度为
v(t)v0at105t. 当汽车停止时, 有
v(t)105t 0, t2(s).
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
ss020v2v(t(t))ddtt0202(1(10055tt))ddtt [1[100tt551212tt22]]02021100((mm))..
1 xh f (t) d t f ( ) (x x h)
hx
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
h0
h
h0
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三、牛顿莱布尼茨公式
定理2(牛顿莱布尼茨公式)
若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则
b
a
f
(x)dx
F (b)
F (a)
.
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三、牛顿莱布尼茨公式
定理2(牛顿莱布尼茨公式)
若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则
b
a
f
(x)dx
F(b) F(a)
.
为了方便起见, 可把 F(b)F(a)记成[F(x)]ba , 于是
b
a
f
(x)dx
[F (x)]ba
图形的面积A.
解
A
p
0
sin
xdx
[
cos
x]p0
(y1)
(y1) s2in.
x
A
p
0
sin
xdx
[ cos
x]p0
(1)
(1)
2
.
xdx [cos x]p0 (1)(1)2 .
o
px
6
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例3 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速 停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始刹车到 停车, 汽车走了多少距离？
于是
d u2 ( x) f (t )dt
dx u1 ( x)
F (u2 ) |u2 u2 ( x) u2 ( x) F (u1 ) |u1 u1 ( x) u1 ( x)
f [u2( x)] u2( x) f [u1( x)] u1( x).
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例6 设f(x)连续, u1(x), u2(x)可导, 则有
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例4
求
1
x(2x 1) dx
0
解 令x(2x 1) 0 x 0, x 1 . 2
当0 x 1 时, x(2x 1) 0; 2
当 1 x 1时, x(2x 1) 0.
2
1
原式 2x(2x 1)dx 0
1
1 x(2x 1)dx
1 4
2
注: 如被积函数有绝对值, 应分区间将绝对值
(x)
x
f (t)dt
1
0
1dt
1
x
t
0
dt
1
x2 2
.
当x (1,2]时,
(x)
x
f (t)dt
1
0
1dt
1
1
t
dt
0
x
(t
1
1)
dt
x
x2 2
.
x 1,
(x)
1
1 2
x2
,
x
1 2
x2,
当1 x 0时, 当0 x 1时, 当1 x 2时.
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