解：小球的受力如图所示，
它所受的重力和绳的拉力的
合力提供向心力，则：
(1)线的拉力为：
FT
mg
c os
(2)由牛顿第二定律可知：
O圆
锥
FT α
摆
F合 O'
F向 F合 mg tan
还有：
F向
m
v2 R
R Lsin
得小球运动的线速度大小为： v
mg
gLsin tan
（3）小球的角速度大小为： v
【知识应用】
• 1、传动装置问题
例1．如图，A、B、C三轮半径之比为3∶2∶1，A 与B共轴，B与C用不打滑的皮带轮传动，则A、B、 C三轮的轮缘上各点的线速度大小之比，角速度大 小之比，转动的向心加速度大小之比分别为多少？
答案：VA:VB:VC=3:2:2
ωA:ωB :ωC=1:1:2
aA:aB:aC=3:2:4
由F合沿半径方向的分力 提供向心力和向心加速
度，只改变线速度的方
向；沿切线方向的分力
提供切向加速度，只改
变线速度的大小
o
A
F合
v
B
匀速圆周运动
o Fn A
v
F合 B
Fτ
非匀速圆周运动
三．离心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在合力突然消 失或者不足以提供圆周运动所需的向心力 的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
• 变式训练：有一辆质量为1.2t的小汽车驶上 半径为50m的圆弧形拱桥。问：
（1）汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的 压力是多大？
（2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥 没有压力作用而腾空？
解：（1） 由向心力公式
Fn
m
v2 R
可得： Fn 2.4 103 N
受力分析得： mg FN Fn
两个有用的结论：
①不打滑的皮带上及轮子边缘上各点 的线速度大小相同，角速度与他们的 旋转半径成反比
②同一转轴上各点的角速度相同， 线速度和他们的旋转半径成正比
2、圆周运动中的动力学分析
• 例2.长为L的细线，拴一质量为m的小球， 一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆 周运动(这种运动通常称为圆锥摆)，如图所 示，摆线L与竖直方向的夹角为α.求：(1)线 的拉力大小；(2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的角速度大小及周期．
mg
O
绳
解：（1）由圆周运动的特点可知，此时绳子
上没有拉力，小球所受的重力提供向心力
，有：
F向 =mg
m
v2 L
得小球在最高点的速度为：v gL
（2）如图，受力分析可知：
v2
10mg
F向 10mg mg
故，此时小球速度为：
m
L
v 3 gL
mg
• 变式训练：如果上题中的细绳改为轻杆， 若小球恰好能通过最高点，则小球在最高 点的速度和小球的受力情况又会如何？
v s 2r
t T
沿圆周在该点 的切线方向
2
t T
中学不研究其方 向
T 1 , 2 n 无方向
f
向心加速 描述线速
度
度方向改
变的快慢
an
v2 r
2r
时刻指向圆心
向心力
F man
时刻指向圆心
相互关系
F
man
v2 m
r
m 2r
4 2r
m T2
• 注意：
1.向心力是产生向心加速度的原因，它使物 体速度的方向不断改变，但不能改变速度 的大小。
2.向心力是按效果命名的力，它可由重力、 弹力、摩擦力等提供，也可以是这些力的合 力或它们的分力来提供。因此在受力分析中 要避免再另外添加一个向心力． 3．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆 心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半 径方向指向圆心的合力就是向心力．
圆周运动
【学习目标】
• 1.会描述匀速圆周运动，知道向心 加速度。
• 2.能用牛顿第二定律分析匀速圆周 运动的向心力，分析离心现象。
• 3.掌握圆周运动的规律与日常生活 的联系的典型情景。

【要点导学】一．描述圆周 运动的物理量及其相互关系
物理量 物理意义 大小
方向
线速度
角速度
周期 频率 转速
描述质 点沿圆 周运动 的快慢
课堂小结
1.向心力是效果力 2.匀速圆周运动和非匀速圆周运动的受 力特点 3.离心运动的供需关系 4.圆周运动的几个应用：
（1）传动装置问题 （2）圆周运动中的动力学分析 （3）竖直面内的圆周运动
作业：高考总复习48页同步训练
解：此时小球在最高点有：
v0
FN
受到如图所示两个力：
mg
重力和杆的支持力，且有：
F向 =mg
FN
m
v2 L
O
故： FN =mg
轻绳模型
轻杆模型
常见类 型
均是没有支撑的小球
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2
得v临＝
gr
均是有物体支撑的小球 小球能运动即可， v临＝0
①过最高点v≥ gr ，FN ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持
g
R L cos
小球的周期为： T 2 2 L cos
g
解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、
角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，
确定向心力的来源； (4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程； (5)求解、讨论
所以 FN 9.6 103 N
（2）此时由重力恰好提供向心力，即：
v2 mg m
R 得： v 10 5 m s
几
O圆
种
锥
常
FT θ
摆
见
的 匀
F合 O'
速 圆 mg
周 运
火车 转弯
FN
θ
动 受
F合
R
力
θ
mg
FN
r F静 mg
转盘
F静
FN
O
O
滚r
mg
筒
3、竖直平面内的圆周运动
• 例3.如图所示，一质量为m的小球，用长为 L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1) 若过小球恰好能通过最高点，则小球在最 高点的速度和小球的受力情况分别如何？ (2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg， 则小球在最低点的速度是多少？
2．原因：做圆周运动的物体，由于本身的惯 性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾 向．
3．供需关系与运动
如图所示，F为实际提供 的向心力，则: (1) 当__F_＝__m_ω__2r____时，物体做匀速圆周运动； (2) 当___F_＝__0______时，物体沿切线方向飞出；
(3) 当__F_<_m_ω_2_r_____时，物体逐渐远离圆心； (4) 当__F_>_m_ω_2_r_____时，物体逐渐靠近圆心。
＋mg＝
v2 mr
.绳、轨道
力，沿半径背离圆心
讨论分 析
对球产生弹力FN≥0，方 向指向圆心
②当0<v< gr 时，－FN＋mg
＝
v2 mr
，FN背离圆心，随v的增大而
减小
②不能过最高v< gr ，
在到达最高点前小球已
经脱离了圆轨道
③当v＝ ④当v>
gr时，FN＝0
gr时，FN＋mg＝
v2 mr
，
FN指向圆心并随v的增大而增大
二．匀速圆周运动和非匀速圆周运动
项目 定义
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
线速度大小恒定不 线速度大小方向均改变
变的圆周运动
的圆周运动
运动 特点
受力 特点
F向、a向、v均大 小不变，方向变 化，ω不变
F向＝F合 ,做匀速
圆周运动的物体, 合外力一定指向圆 心
F向、a向、v大小、方 向均发生变化，ω发 生变化