第一章 概率论的基本概念一、选择题 1．答案：（B ） 2. 答案：（B ） 3．答案：（C ）4. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ） 注:由C 得出A+B=Ω.7. 答案：（C ）8. 答案：（D ） 注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ） 注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r r C r P P A ⋅==，故365()1365r rP P A =-.11.答案：（C ）12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ⊂，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ⋃=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -⋃+=+--+--+==-⇒-+--+=-⇒-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -⇒=故A 与B 独立. 14.答案：（A ）解：由于事件A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此P(A|B)=()00()()P AB P B P B ==. 15.答案：（D ）解：用A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立事件A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故111112()(1)(1)(1)(1)()543633P A P A =----=⇒=.16.答案：（B ） 解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-⋃⋃=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂⇒≤≤=⇒=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC 3．0.3，0.5解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-=. 6.0.6解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+=. 8.1/4解：因为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ 由题设22()()(),()()()(),()()()()P A P B P C P AC P A P C P A P AB P A P B P A ======，2()()()(),()0P BC P B P C P A P ABC ===，因此有293()3()16P A P A =-，解得 P （A ）=3/4或P （A ）=1/4，又题设P （A ）<1/2,故P （A ）=1/4. 9.1/6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解.10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5， 故()()(|)0.50.66(|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ⋃===求。

解：由61)()(314121)()|()()()()|(=⇒⨯=−−−−→−=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件 由乘法公式，得121)|()()(==A B P A P AB P由加法公式，得311216141)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P第二章 随机变量及其分布一、选择题1.答案：（B ）注：对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数值a 的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案：（B ）解：由于X 服从参数为λ的泊松分布，故{},0,1,2,!k e P X k k k λλ-===.又},2{}1{===X P X P 故1221!2!e e λλλλλ--=⇒=，因此0212222{2}1{2}1{0}{1}{2}2225110!1!2!P X P X P X P X P X e e e e--->=-≤=-=-=-==---=-. 3.答案：（D ）解：由于X 服从]5,1[上的均匀分布,故随机变量X 的概率密度为14,[1,5]()0,[1,5]x f x x ∈⎧=⎨∉⎩.因此，若点,[1,5]a b ∈，则4}{ab b X a P -=≤≤. 2{36}{35}4P X P X <<=<<=，3{04}{14}4P X P X <<=<<=， 21{13}{13}42P X P X -<≤=<≤==.4 答案：（C ）解：由于),4,(~μN X 故~(0,1);2X N μ- 由于0{0}{}(),222X P X P μμμ--≤=≤=Φ-而1(0)2Φ=，故只有当0μ=时，才有21}0{=≤X P ；2{2}{2}1{2}1{}1(1);22X P X P X P X P μμμμμμ-+-->=>+=-≤+=-≤=-Φ正态分布中的参数只要求0σ>，对μ没有要求. 5.答案：（A ）解：由于~(2,)X B p ，故002222{1}1{1}1{0}1(1)1(1)2P X P X P X C p p p p p ≥=-<=-==--=--=-，而5{1}9P X ≥=，故25152933p p p p -=⇒==或（舍）； 由于~(3,)Y B p ，故0033311219{1}1{Y 1}1{0}1()(1)1()33327P Y P P Y C ≥=-<=-==--=-=.6.答案：（B ）解：这里()23g x x =-+，()g x 处处可导且恒有()20g x '=-<，其反函数为3()2y x h y -==-，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y 的密度函数为3113()()()2222Y X X y y f y f f --=--=-. 7.答案：（D ）注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页. 8.答案：（C ）解：因为)1,1(~N X ，所以2(1)21()2xt F x edt π---∞=⎰，2(1)21()2x f x e π--=. 101{0}{}(1)1(1)10.84310.1569,11{0}1{0}1{0}1(1)(1)0.8431;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ-=-Φ=-=≥=-<=-≤=-Φ-=Φ= 111{1}{}(0)0.5,11{1}1{1}1{1}1(0)0.5;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ=≥=-<=-≤=-Φ= 9.答案：（B ）解：由于()()f x f x =-，所以X 的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y 轴对称，因此随机变量X 落在x 轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出1(0)(0)2F P X =≤=.我们可以画出函数()f x 的图形，借助图形来选出答案B.也可以直接推导如下：()()aF a f x dx --∞-=⎰，令u x =-，则有1()()()()()()().2aaa aaF a f u du f u du f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞∞∞-=--===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰10.答案：（A ）解：14114411312137{}()|428P X f x dx xdx x >====⎰⎰. 11.答案：（B ） 解：21121{2}1{2}1{22}1{}222X P X P X P X P ----≥=-<=--<<=-<<1[(0.5)( 1.5)]1(0.5)1(1.5)0.3753=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=.12.答案：（D ）解：对任意的0,x >{}1{}1()1(1)x x P X x P X x F x e e λλ-->=-≤=-=--=；选项C 描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数0λ>.13.答案：（A ）解：选项A 改为~(0,1)X N μσ-，才是正确的； {(,)}()()()()a b P X a b F b F a μμσσ--∈=-=Φ-Φ；{||}{}{}{}()()2()1,(0)P X k P k X k P k X k k X k P k k k k μσσμσσμσμσμμμσμμσσσ-≤=-≤-≤=-+≤≤+-+--+-=≤≤=Φ-Φ-=Φ->. 14.答案：（B ）解：由于随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,所以X 的概率密度函数为15,[1,6]()0,[1,6]x f x x ∈⎧=⎨∉⎩.而方程012=++Xx x 有实根，当且仅当24022X X X ∆=-≥⇒≥≤-或，因此方程012=++Xx x 有实根的概率为 62{2}{2}0.861p P X P X -=≥+≤-==-. 二、填空题 1.X x ≤.2.解：由规范性知111115151248161616c c c c c c =+++=⇒=. 3.解：由规范性知122/311()2312/32k k a a a a ∞====⇒=-∑.4.解：因为{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--，所以只有在F （X ）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P （X=-1）=F （-1）-F （-1-0）=a ，P{X=1}=F （1）-F （1-0）=2/3-2a ，P{X=2}=F （2）-F （2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.5.解：由于]5,1[~U X ，所以X 的概率密度为1,15()40,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，故2122111()()(1)44x p x X x f x dx dx x ∞-∞<<===-⎰⎰. 6.22()21(),2x f x ex μσπσ--=-∞<<∞；221(),2y f y e y π-=-∞<<∞ 7.解：}{2337327222(2)( 2.5)(2)(2.5)10.99720.993810.9910X P X P ⎧----⎫-<<=<<⎨⎬⎭⎩=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=. 8.解:由()()()1()1333(0)()()()22223032p X c p X c p X c p X c X c c p X c p c c <=≥⇒<=-<---⇒Φ==<=<=Φ-⇒=⇒=.9．130.50.5-⎛⎫ ⎪⎝⎭１0．解：011(){}{},(04)22y Y F y P Y y P X y dx y y =<=<==<<⎰ 故1()()(04)4Y Y f y F y y y'==<<.第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.答案：（A ）解：要使12()()()F x aF x bF x =-是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用()1F ∞=这一性质可以得到12()()1aF bF a b ∞-∞=-=，只有选型A 满足条件.2.答案：（A ）解：由12{0}1X X ==P 可知1212{0}1{0}0X X P X X ≠=-==P ，故1212121212121212{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0P X X P X X P X X P X X P X X P X X P X X P X X =-=-+=-=+==-+===⇒=-=-==-====-====又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：1121212121{1}{1,1}{1,0}{1,1}41{1,0}4P X P X X P X X P X X P X X ==-==-=-+=-=+=-=⇒=-==1121212121{1}{1,1}{1,0}{1,1}41{1,0}4P X P X X P X X P X X P X X =====-+==+==⇒===21212121212121{0}{1,0}{0,0}{1,0}21{0,0}{1,0}{1,0}02P X P X X P X X P X X P X X P X X P X X ====-=+==+==⇒===-=-=-===故12121212{}{1,1}{1,1}{0,0}0P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+===. 3.答案：（D ）解：联合分布可以唯一确定边缘分布 ，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X 与Y 是相互独立的，则由X 与Y 的边缘分布可以唯一确定X 与Y 的联合分布. 4.答案：（A ）解：由问题的实际意义可知，随机事件{}X i =与{}Y j =相互独立，故1166111{,}{}{},,1,2,636P X i Y j P X i P Y j i j C C ========；661111{}{,}{}{,}6366k k X Y X k Y k P X Y P X k Y k ======⇒=====⨯=∑∑； 15{}1{}166P X Y P X Y ≠=-==-=；{}{}{}X Y X Y X Y ≤=<⋃=，而事件{}X Y <又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即{}{,1}{,2}{,6},1,2,3,4,5X Y X k Y k X k Y k X k Y k <===+⋃==+⋃⋃===故151517{}{}{}{}3636612P X Y P X Y P X Y P X Y <=⇒≤=<⋃==+=. 5.答案：（B ） 解：当221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ时，),(~211σμN X ，222~(,)Y N μσ，且X 和Y 相互独立的充要条件是0=ρ；单由关于S 和关于T 的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S 和T 的联合分布的.6.答案：（C ）解：（方法1）首先证明一个结论，若2~(,)T N μσ，则2~(,)S T N μσ=--.证明过程如下（这里采用分布函数法来求S T =-的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于(){}{}{}1{}1{}1(),S T F s P S s P T s P T s P T s P T s F s =≤=-≤=≥-=-<-=-≤-=--故2222()(())2211()()(1)(),22s s S T T f s f s f s e e μμσσπσπσ------=--⨯-=-==这表明T -也服从正态分布，且2~(,)S T N μσ=--.所以这里222~(,)Y N μσ--.再利用结论：若1X 与2X 相互独立，且2~(,),1,2i i i X N i μσ=，则22121212~(,)X X N μμσσ+++.便可得出221212~(,)X Y N μμσσ+++；221212~(,)X Y N μμσσ--+； 2212122()~(2,4)X Y X Y Y N μμσσ-=---+; 2212122()~(2,4)X Y X X Y N μμσσ-=+--+.（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ=，则22111~(,)n n ni i i i i i i i i Y k X N k k μσ====∑∑∑故221212~(,)X Y N μμσσ+++；221212~(,)X Y N μμσσ--+；)4,2(~2222121σσμμ+--N Y X ;2212122~(2,4)X Y N μμσσ--+.7.答案：（A ）解：由于~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，所以13(3)~(0,1)1X Z X N +==+，22(2)(0,1)1Y Z Y N -==-，故23222(2)(0,(2)1)(0,4)Z Z Y N N =-=---⨯=，而13Z Z Z =+，所以~(0,5)Z N . 8.答案：（D ）解：由联合概率密度函数的规范性知44400041(,)sin()[cos cos()]4[sin sin()]21214f x y dxdy C dx x y dy C x x dxC x x C ππππππ∞∞-∞-∞==+=-+=-+=-⇒=+⎰⎰⎰⎰⎰. 9.答案：（A ） 解：1{1}(,)x y P X Y f x y dxdy +≥+≥=⎰⎰121232010154165()()363272x dx x xy dy x x x dx -=+=++=⎰⎰⎰.10.答案：（Ｂ）解：由联合概率密度函数的规范性知(23)230001(,)(2)(3) 6.66x y x y A Af x y dxdy A dx edy e d x e d y A ∞∞+∞+∞+∞+∞-+---∞-∞===--=⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12.答案：（C ）解：用D 表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G 表示矩形域[02,01]x y ≤≤≤≤，则所求的概率为21242202033{(,)}(,)()0.622216DD G x x x P X Y D f x y dxdy xy dxdy dx xy dy dx ∈====-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.13.答案：（B ）解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若2~(,),1,2,,i i iX N i n μσ=，则22111~(,).n n ni i i i i i i i i Y k X N k k μσ====∑∑∑因此2221211111()~(,())(,)nn n i i X X X N N nn nn σμσμ==+++=∑∑；22212~(,)(0,2)X X N N μμσσσ--+=.令123Z X =+，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z 的概率密度函数为22223()[(23)]22(2)2111().222(2)z z Z f z e e μμσσπσπσ---+--==，故2123~(23,4)X N μσ++.二、填空题1.F （b,c ）-F(a,c);F(a,b);F(+∞,a)-F(+∞,0);F(+∞,b)-F(a,b).2.1/6αβ+=.3.解：22111[ln ||]2e e D S dx x x ===⎰，故1/2,(,)(,)0,(,)x y D f x y x y D∈⎧=⎨∉⎩. 4.0．5.解：P （X=Y ）=P （X=-1, Y=-1）+ P （X=1, Y=1）= P （X=-1）P （Y=-1）+ P （X=1）P （Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P （X+Y=0）= P （X=-1, Y=1）+ P （X=1, Y=-1）= P （X=-1）（Y=1）+ P （X=1）P （Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P （XY=1）=P （X=-1, Y=-1）+ P （X=1, Y=1）= P （X=-1）P （Y=-1）+ P （X=1）P （Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.三、设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。