ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2r = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 解 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球 面上，方法之一:
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
第一项是设想体系的电 荷集中于原点上时在外 场中的能量 第二项是体系的电 偶极矩在外电场中 的能量 第三项是四极 子在外电场中 的能量
W (0 ) = Qϕ e (0 )
W
(2 )
(1)
v v = p ⋅ Ee (0 )
只有在非均匀场 中四极子的能量 才不为零
W
v 1 t = − D : ∇Ee 6
六、静电场的能量 电荷体系与 外电场的相互作用
1、静电场能量
1 v v W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得 v v v v v E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇ ⋅ (ϕD) + ϕ ∇ ⋅ D v = −∇ ⋅ (ϕD) + ρϕ 因此
v 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD )dV 2 2
代入得
3 1 3 ∂ ∂2 W = ∫ ρ ϕ e (0 ) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L dV 2! i , j =1 ∂xi ∂xi ∂x j i =1 1 ∂ ∂2 ϕ e (0 ) + ∑ Dij ϕ e (0) + L = Qϕ e (0 ) + ∑ pi 6 i, j ∂xi ∂xi ∂x j i 1 t v = Qϕ e (0 ) + p ⋅ ∇ϕ e (0 ) + D : ∇∇ϕ e (0 ) + L 6
2、电荷体系在外电场中的能量
电荷体系在外电场中的能量为
W = ∫ ρϕ e dV
设电荷分布于小区域内，取区域内适当点为坐标 原点，把ϕe(x)对原点展开
3 ∂ 1 3 ∂2 v ϕ e (x ) = ϕ e (0) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L ∂xi 2! i , j =1 ∂xi ∂x j i =1