２ 线性规划习题答案
１、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性
答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。

线性规划数学模型特征：
（1） 用一组决策变量表示某一方案,这组决策变量均为非负的连续变量;
（2） 存在一定数量（ｍ）的约束条件,这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性
等式或者不等式来加以表示；
（3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数,而该函数是一个线性函数。

２、一家餐厅２4小时全天候营业,在各时间段中所需要的服务员数量分别为:
2:00~6:０0 ３人 6：0０~１０:00 9人 1０：00~１4:00 １2人 14：00～18:００ 5人 1８：０0~22：00 １８人 22:00~ 2:00 4人
设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时,问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。

试构造此问题的数学模型。

解:用决策变量1x ,2x ,3x ，4x ,5x ,6x 分别表示2:００~６:００， ６:00~10:0０ ，1０：00~14:00 ,1４:00~18:00,18:０0～２2：０0, 22:00~ 2：00 时间段的服务员人数。

其数学模型可以表述为:123456min Z x x x x x x =+++++
16122334455612345639125184,,,,,0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥
3、现要截取２．9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7．4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。

试构造此问题的数学模型。

方法一
解：圆钢的截取有不同的方案,用θ表示每种切割方案的剩余材料。

其切割方案如下所示: 2．9ﻩﻩ2.１ ﻩ１.5ﻩ θ 1'ﻩ １ﻩ １ﻩﻩ1ﻩ 0．９ 2'ﻩ 2 ０ﻩﻩ0 ０.1 ３＇ 1 ﻩ2ﻩﻩ0 ﻩ0.3 ４'ﻩ 1 0 ﻩ3 ﻩ0 5＇ﻩﻩ0 ﻩ１ﻩ 3 ０．8 6'ﻩ ０ﻩﻩ０ﻩ 4 ﻩ1.４ ７'ﻩ 0ﻩﻩ2ﻩﻩ2 0.2 8' ﻩ0ﻩﻩ3 ﻩ0ﻩﻩ1.1
目标函数为求所剩余的材料最少,即
12345678min 0.90.10.300.8 1.40.2 1.1Z x x x x x x x x =+++++++
1234135781245671234567821002231003342100,,,,,,,0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++>=++++>=+++++>=≥
方法二
解:由题意，因为所有套裁方案有2１种，全部写出需考虑因素太多，故需先做简化。

又由于目标是使所用原材料最少,所以，仅需考虑最省的五个方案即可。

设x i 是第 i 种套裁方案所用的原材料根数,建立数学模型如下:(料头最省)
五种套裁方案实施后，可得的 2．９米钢筋的根数。

五种套裁方案实施后,可得的 2．1米钢筋的根数。

五种套裁方案实施后，可得的 1.5米钢筋的根数。

x 1=30, x ２＝10, x ３＝0, x ４＝５0, x 5＝0 只需9０根原材料,目标函数值最小为90即可。

4、某糖果厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A 、B 、C 三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表１所示。

问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克,才能使该厂获利最大?试建立这个问题的线性规划模型。

12 4 3451235j +2 + 100 2 +2 + 1003++ 2 +3 100 0(j=1,2,,5)
x x x x x x x x x x x ≥≥≥≥⋅⋅⋅12345
Min = 0+0.1+0.2 +0.3+0.8z x x x x x。