第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。

取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。

一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。

1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。

空气折射率为0 1.00n =。

试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。

已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。

任何情形下，折射波不存在半波损失。

伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。

b. sin , 1x x x ≈<<当。

参考解答：如图a 所示，光线1在上侧柱面P 点处傍轴垂直入射，入射角为θ，折射角为0θ，由折射定律有00sin sin n n θθ= ①其中n 和0n 分别玻璃与空气的折射率。

光线在下侧柱面Q 点处反射，入射角与反射角分别为i 和i '，由反射定律有i i '= ②光线在下侧柱面Q 点的反射线交上侧柱面于P '点，并由P '点向上侧柱面折射，折射光线用1''表示；光线1''正好与P '点处的入射光线2的反射光线2'相遇，发生干涉。

考虑光波反射时的半波损失，光线1''与光线2'在P '点处光程差L ∆为p 0p 0p p ()(PQ P Q)()(PQ P Q)()22L n z n n z n n z z λλ''⎡⎤''∆=-+++--=+--+⎢⎥⎣⎦ ③式中λ为入射光线在真空中的波长，0 1.00n =。

由题意，1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有0θ≈，1i i '=<<①式成为00n n θθ≈ ④ 亦即010n θθ>>≈≈ ⑤在傍轴条件下， 柱面上P 、Q 两处切平面的法线近似平行，因此010i i θ'>>=≈≈ ⑥从而，在P 、Q 两处，不仅切平面的法线近似平行，而且在上下表面的反射光线、折射光线均近似平行于入射线，因而也近似平行于Z 轴，从而P '与P 点近似重合，即p pz z '≈⑦且PQ 近似平行于Z 轴，因而长度P QP Q PQ z z '≈≈-⑧由③⑧式得()00P Q 2PQ 222L n n z z λλ∆=⋅+=-+⑨可以将⑨式右端的-z 坐标近似用-x 或-y 坐标表出。

为此，引入一个近似公式。

如图b 所示，设置于平面上的柱面透镜与平面之间的空气隙的厚度为e ，柱面半径为R 。

对三边边长分别为R 、R e -和r 的直角三角形有()222=R R e r -+⑩即222Re e r -= ⑪在光线傍轴垂直入射时，e R <<，可略去⑪式左端的2e ，故22r e R = ⑫ 在光线傍轴垂直入射时， 前面已证近似有PQ//Z 轴。

故可将上、下两个柱面上的P 、Q 两点的坐标取为P P (,,)x y z 、Q Q (,,)x y z ，如图c所示。

根据⑫式可知，P 、Q 两点到XOY 切平面的距离分别为21P 12x e z R ==，22Q 22y e z R =-= ⑬ 最后，光线在上、下两个柱面反射并相遇时, 其光程差L ∆为()()0P Q 0122222L n z z n e e λλ∆≈-+=++2222001212 22222x y x y n n R R R R λλ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑭若P 、Q 两点在XOY 平面的投影点(,)x y 落在第k 级亮(暗)纹上，则L ∆须满足条件 22012, 1,2,, 12(),0,1,2,, 2k k x y L n R R k k λλλ=⎧⎛⎫⎪∆=++=⎨ ⎪+=⎝⎭⎪⎩亮环暗环 ⑮ ⑮式中亮环条件对应于第k 级亮纹上的点(,,)x y z 的x -、y -坐标满足的方程。

更具体地，不妨假设12R R >，根据⑮式中的亮环条件，可得第k 级亮纹的方程为 22221, 1,2k kx y k A B +== ⑯它们是椭圆亮环纹，其半长轴与半短轴分别为101()/, 1,2,2k A k R n k λ=-=，201()/, 1,2,2k B k R n k λ=-=⑰评分参考：①②式各1分，③式2分，④⑤式各1分，⑥式2分，⑦式1分，⑧式2分，⑨⑩⑪⑫式各1分，⑬式2分，⑭式1分，⑮式（亮环条件正确）2分。

二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C ︒，一加水员到实验园区给一内径为2.00 m 、高为2.00 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。

罐体导热良好。

罐外有一内径为4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。

加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。

此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m 。

（1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C ︒，问此时观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。

（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。

已知罐外气压始终为标准大气压50 1.0110Pa p =⨯，水在4.0C ︒时的密度为330 1.0010kg m ρ-=⨯⋅，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为413.0310K κ--=⨯，重力加速度大小为29.80m s g -=⋅，绝对零度为273.15C -︒。

参考解答：（1）清晨加完水封闭后，罐内空气的状态方程为000p V nRT =①式中n 为罐内空气的摩尔数，0p 、30π m V =和0277.15K T =分别是此时罐内空气的压强、体积和温度。

至中午时，由于气温升高，罐内空气压强增大，设此时罐内空气的压强、体积和温度分别为1p 、1V 和1T ，相应的状态方程为111pV nRT =②式中1297.15K T =。

空气和水的体积都发生变化，使得观察柱中水位发生变化，此时观察柱内水位和罐内水位之差为，101010120122()(+)V V V V T T S S l h S S S κ---∆=++③ 式中右端第三项是由原罐内和观察柱内水的膨胀引起的贡献，01.00 m l =为早上加水后观测柱内水面的高度，21πm S =、4224π10m S -=⨯分别为罐、观察柱的横截面积。

由力平衡条件有1011p p g h ρ=+∆④式中1101()T T ρρκ=+- ⑤是水在温度为1T 时的密度。

联立①②③④⑤式得关于h ∆的一元二次方程为 2110110000()()()0T gS h p S gV h p V T ρλρλ'∆++∆--= ⑥ 式中1212S S S S S '=+，101()T T λκ=-- ⑦ 解方程⑥得10.812m h ∆== ⑧另一解不合题意，舍去。

由③⑤⑦⑧式和题给数据得 3101010()0.0180m V V S h T T S l κ'-=∆--=- 由上式和题给数据得，中午观察柱内水位为10101+1.82m V V l h l S -=∆-= ⑨（2）先求罐内空气从清晨至中午对外所做的功。

（解法一）早上罐内空气压强50 1.0110Pa p =⨯；中午观察柱内水位相对于此时罐内水位升高h ∆，罐内空气压强升高了3317.91310Pa 7.9110Pap g h ρ∆=∆=⨯=⨯⑩由于0p p ∆<<，可认为在准静态升温过程中，罐内空气平均压强为55011.049510Pa 1.0510Pa2p p p =+∆=⨯=⨯⑪罐内空气体积缩小了30.0180m V ∆= ⑫可见0/1V V ∆<<，这说明⑪式是合理的。

罐内空气对外做功331.88910J 1.910J W p V =∆=-⨯=-⨯⑬（解法二）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午之间的任意时刻，设罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V 、T 和p 。

水温为T 时水的密度为01()T T ρρκ=+- ⑩将②③④式中的1V 、1T 和1p 换为V 、T 和p ，利用⑩式得，罐内空气在温度为T 时的状态方程为()()00010010001000()/() 1()gp p V V T T S l S V V S l T T gS l p S T T ρκκρκ=+-+-⎡⎤⎣⎦'-+-=+'+- ⑪由题设数据和前面计算结果可知010()()0.0060T T T T κκ-<-=0101010=0.0057V V V V S l S l --< 这说明⑪式右端分子中与T 有关的项不可略去，而右端分母中与T 有关的项可略去。

于是⑪式可 ()()0001001000100 ()/()gp p V V T T S l S gS l p V V S l T T S ρκρκ=+-+-⎡⎤⎣⎦'=+-+-⎡⎤⎣⎦'利用状态方程，上式可改写成0000101000110()1gnRp V T S l nRS S l p gl S S l VnRS ρκκκρκ-++'=--'⑫ 从封闭水罐后至中午，罐内空气对外界做的功为110000001010001100011010*******11001003()d d 11()()ln 11.89010J 1.9V V V V g nR p V T S l nR S S l W p V Vgl S S l VnR S gl S V nR S g nR nR S V V p V T S l gl S S l g S S l V nR S ρκκκρκκρρκκρκρκ⎡⎤-++⎢⎥'==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥'⎣⎦⎧⎫-⎪⎪'⎡⎤'=----++⎨⎬⎢⎥'⎣⎦⎪⎪-'⎩⎭=-⨯=-⨯⎰⎰310J⑬ （解法三）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午的任意时刻，罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V 、T 和p 。