协整与误差修正模型在处理时间序列数据时，我们还得考虑序列的平稳性。

如果一个时间序列的均值或自协方差函数随时间而改变，那么该序列就是非平稳的。

对于非平稳的数据，采用传统的估计方法，可能会导致错误的推断，即伪回归。

若非平稳序列经过一阶差分变为平稳序列，那么该序列就为一阶单整序列。

对一组非平稳但具有同阶的序列而言，若它们的线性组合为平稳序列，则称该组合序列具有协整关系。

对具有协整关系的序列，我们算出误差修正项，并将误差修正项的滞后一期看做一个解释变量，连同其他反映短期波动关系的变量一起。

建立误差修正模型。

建立误差修正模型的步骤如下：首先，对单个序列进行单根检验，进行单根检验有两种：ADF( Augument Dickey-Fuller )和DF(Dickey-Fuller) 检验法。

若序列都是同阶单整，我们就可以对其进行协整分析。

在此我们只介绍单个方程的检验方法。

对于多向量的检验参见Johensen 协整检验。

我们可以先求出误差项，再建立误差修正模型，也可以先求出向量误差修正模型，然后算出误差修正项。

补充一点的是，误差修正模型反映的是变量短期的相互关系，而误差修正项反映出变量长期的关系。

下面我们给出案例分析。

案例分析在此，我们考虑从1978 年到2002 年城镇居民的人均可支配收入income 与人均消费水平consume 的关系，数据来自于《中国统计年鉴》，如表8.1 所示。

根据相对收入假设理论，在一定时期，人们的当期的消费水平不仅与当期的可支配收入、而且受前期的消费水平的影响，具有一定的消费惯性，这就是消费的棘轮效应。

从这个理论出发，我们可以建立如下 ( 8.1 ) 式的模型。

同时根据生命周期假设理论，消费者的消费不仅与当期收入有关，同时也受过去各项的收入以及对将来预期收入的限制和影响。

从我们下面的数据分析中，我们可以把相对收入假设理论与生命周期假设理论联系起来，推出如下的结果：当期的消费水平不仅与当期的可支配收入有关，而且还与前期的可支配收入、前两期的消费水平有关。

在此先对人均可支配收入和人均消费水平取对数，同时给出如下的模型Iconsume t 0 1lconsume t 1 2lincome t t=1,2,…,n (8.1 ) 如果当期的人均消费水平与当期的人均可支配收入及前期的人均消费水平均为一阶单整序列，而它们的线性组合为平稳序列，那么我们可以求出误差修正序列，并建立误差修正模型，如下：Iconsume0 1 Iincome t 2 Iconsum t e13ecm t 1 4t t=1,2，…,nt(8.2)ecm t =Iconsume t 0 1Iconsume t 12Iincome t 1t=1,2, … ,n(8.3)从( 8.2 )式我们可以推出如下的方程：Iconsume t(1 1 3)Iconsume t 1 ( 1 3 1 )Iconsume t 22Iincome t2 t(8.4 ))Iincome t 1 0 3 0 4t( 2 32在(8.2 )中Iconsume lincome分别为变量对数滞后一期的值，ecm( 1)为误差修正项，如( 8.3 )式所示。

(8.2 )式为含有常数项和趋势项的形式，我们省略了只含趋势项或常数项及二项均无的形式。

分析步骤：1、单位根检验。

我们先介绍ADF检验。

在检验过程中，若ADF检验值的绝对值大于临界值的绝对值，则认为被检验的序列为平稳序列。

在此我们先以对lincome的检验为例，在主菜单中选择Quick/Series Statistics/Unit Root Test，屏幕提示用户输入待检验序列名，输入lincome，单击OK进入单位根检验定义的对话框，如图8.1。

Tesl Ty p _________________ I rclude in test equationmini HHI ■■■■ VIIBI mmaawiiBimi■■ ■■■■■■ -r:q* jAug inn ent ed 0 icIcey-Fuller；Iniercept11 IIU■ in IAJI ■ HE iMiaiL&BiiiBJuiBiiuii■■JIIL mi Jir? Hhillips^l-'error* and inter csptTesthriritroot in：〉tlone*L BYC I1st difference Lagged diflerences：2nd difference图8.1对话框由三部分构成。

检验类型（Test Type ）中默认项是ADF检验。

Test for unit root In 中可选择的是对原序列、一阶差分序列或是二阶差序列做单位根检验，在此我们保持默认的level,即原序列。

右上方的In clude in test equation 中，有三个选项，依次为含常数项，含常数项和趋势项，没有常数项且没有趋势。

在右下方的空格里默认为2,但我们一般根据AIC最小来确定滞后期数，本文选定为滞后一期。

检验的顺序为：先选含趋势项和常数项的检验，如果趋势项的T统计量不明显，就再选只含常图8.3数项的，如果常数项的T 统计量不明显，就选择常数项和趋势项均不包括的一项。

们选含趋势项和常数项的检验时，会出现下面的结果，如图8.2所示。

AiigmeniCifrl」Ljllei U'nll lluut 】uE uri I IF4CT% Chine al Value* 5% CMicnl Value 1[J%CnhLSi Wiiw *IMs_ krnnon cntiiL al values |口r rejecti sn ul ll^'pulheBi^ ol 勺 jrirt raol. AjjgrnB-led Dickey-尸 ul er Tesl Equa B ion De pt* nilen I! Var lab I B D(LlMC) Mnt Kfid L 前S<3UlinDate O2/13)Qd Time: 22：D1 Sample adjusledJ I9EO ^JUZIrtCludiJd uL'atruaiiuni! 23 Jfttr bi^u^l in<jj u r d^Oi Hl图8.2在检验的结果输出窗口中， 左上方为ADF 检验值，右上方为1%5囁口1 0%勺显著水平下的临界值，从图8.1中可以看出ADF 统计的检验值为-3.117,其绝对值小于10%勺显著水平的临界值-3.2856的绝对值。

同时趋势值的T 统计来看，在5% 的水平下显著。

注意，这里的T 统计量不同于我们在做最小二乘时用的T 统计值。

这些T 统计检验的临界值在F uller (1976)中给出.从上面的分析我们可以认为 该序列为非平稳的序列，且该序列有趋势项和常数项。

在下文中我们会进行一步介 绍只含常数项的和常数项与趋势项均不包括的ADF 检验的过程。

在上面分析的基础上，我们回到图 8.1的窗口，检验lincome 差分一阶的平稳 性。

在图8.1中的Test for unit root In 中选差分一阶，同时在 Include in test equation 中选取含趋势项和常数项这一项，我们同样根据 AIC 和SC 最小来选择滞 后两期。

此时会出现如下图8.3的结果：AiJipnufiieil Dlcldiy 」till^i ll»H Rom lisjjr 4111 DCLINCOMH) ADF Tesl Statiistic-3.3330231 % 亡mi 匚si ValuH*1-4.4E91 5% CihlcAl Value -3.6454ID% CiW»l Vteiia-3 2CT12*M^cKinr on critical </alu )e3 rar rejaction of hypothecs af m uni1 rootAuiiment^d Oicfc&y-Fuller Teal Equ'iiiDnOependem X^roble- ID(LlNCOME,2)i Mel hod: Le ：3st Squiar-ssDate: 02^1 印04 T mt 22： ce S&itifi le( MjiNtsd) 1962 2002Inc fajd «rl mtar R r*atin nr ?1 rflRi ^riuFlinq R ntrlpciinisVdrlabls CoefTisieirt Std IzrtQi t-Statistic Arob. D(JJNCOME(1)) U3.-333D2-3Qg?D(UMCOME(r1]^)□ 31392S □,3J2T51 1.553530 □.14QD□J531J0 □.1SB35Z DElil 犯" UL03E3cU 'I02S75J □ [DGOJB 2 07OBII5 aonni^TF?EMD(197S) ・U 0DJQ J 3 □.□□1717 皿日旧d □.5Sd3R-s-qu-are J0 434dZ4 h/eai dep e nde nt o.ooaaaaAdjd£t&d iR-iquai-ed 0 299DE5 S.D. /arO.OSG405 S.E. of r»gr»ttion 0 0-RdS2 info ■J.0C22ZI2Sunn 二qu 就注时 D 03-FTE6 匚lifFimnLoq likelihQiid3T D48E5 Fstaiistic3.QT2ES1Cjui^in-WstMin stst1 S524I3Proh(F-<tsrtislie)Q,tM6&44当我ADF Test 3抽血亡 ・3.11 -4.416? ■3.6219 -3.2474从上图中可以看出ADF的绝对值小于5%水平下的临界值的绝对值，大于10%勺检验值的绝对值。

但此时趋势项的T检验值不明显。

所以我们回到图8.1的窗口，在In elude in test equation中选取含常数项这一项。

其结果如下图8.4所示，结果显示ADF的绝对值为3.4546大于5%水平下的临界值的绝对值，此时常数项的T检验值为3.34572，大于在显著水平为5%水平下的T临界值为 2.61，所以常数项T检验值很明显。

我们认为lincome序列差分一阶后为平稳的。

值得注意的是，我们在此选择10%为临界值来判断非平稳的情况，而选择5%勺临界值来判断平稳的情况，也就是，当ADF检验值的绝对值大于5%水平下的临界的绝对值。