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据 上 述 0()12 定 理 ! 是 否 可 以 建 立 满 足 导 数 条 件 的 %&’(&) 方 法 ! 从而对计算机辅助几何造型有所帮助 * 基于这样的思考 ! 本 文 在 0()12 逼 近 定 理 的 基 础 上 ! 建 立 相 应 的 %&’(&) 方 法 + 我 们 称之为广义 %&’(&) 曲线拟合方法 %( 特别对 $+. 的情形 ! 分析了 带切线控制条件的广义 %&’(&) 曲线的一些性质 , 大量的曲线拟 合例子表明 ! 带切线控制条件的广义 %&’(&) 曲线拟合可以作为 几何造型的有用的补充手段应用于某些工程问题 $
CDE(%+0(& ; LHG++ 1R 3&*&)GH(’&N %&’(&) R(,,(*I LM)2& [(,U L1*N(,(1* 1R ,G*I&*, 2&L,1)+ (+ +,MN(&N (* ,U(+ \G\&)$OU& F&,U1N (+ ]G+&N 1* ,U& 0()12 G\\)1J(FG,(1* ,U&1)&F$V+(*I ,U(+ F&,U1N !(, LG* +\&L(RW ,U& ,G*I&*, 2&L,1)+ G, &2&)W L1*,)1H \1(*, (* GN2G*L&$S1 ! (, LG* GNXM+, ,U& +UG\& 1R R(,,(*I LM)2& " 3&*&)GH(’&N %&’(&) LM)2& % F1)& R)&&HW GLL1)N(*I ,1 ,U& I(2&* ,G*I&*, 2&L,1)+$41[&2&) !,U& N&I)&& 1R 3&*&)GH(’&N %&’(&) LM)2& (*L)&G+&+ 1*HW 1*&$Z, (+ U&H\RMH R1) ,U& &*I(*&&) [U1 [G*,+ ,1 L1*,)1H +UG\& 1R LM)2& ]W M+(*I %&’(&) +LU&F& (* :;3<$ F"GH3%-E & 3&*&)GH(’&N %&’(&) +LU&F& !0()12 ,U&1)&F !LM)2&7R(,,(*I !L1F\M,&) G(N&N I&1F&,)(L N&+(I*
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2 "! % 2 %! % 2 !! % 2 ".!! 联 合 & ! $ 和 & 4 $! 便 可 给 出 合 乎 端 点 要 求 的 % 0 ".%!% 0 "* %
由于切向量的给出有很大的任意性 ! 原来 &’()’* 曲线的凸
’"!%&!"!!%!"!!"("$+!"!’"!%&!"!!%!"!!"(% $+!" &! $ 各顶点处的切线
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显然 ! 当 $+" ! 就是通常人们了解的 %&)*+,&(* 多项式 ! 并由 此产生了一系列关于 %&’(&) 曲线曲面的 :;3< 理论与方法 ! 在
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2 #! 因 此 还 可 以 曲线拟合时 ! 由于关系式 &! $ 并 未 完 全 确 定 %
进一步对端点处的曲率作出要求 ! 这通过 &0 $ 可以达到目的 * 如果要求曲线在端点处是凹的 ! 即端点处二阶导数为正 ! 也即 ’
&’()’* 曲线为 ’ ’"!%&%"!%%!%!%"(( $+!! % %) &(* ) $ ’"!(&( $+ " ! ) +" ! $ + " $ +
关于曲线拟合的广义 !"#$"% 方法
宋瑞霞 .
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王小春 !
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辉B
! 北方工业大学理学院 "北京 ."""C. #
!北京林业大学基础科学与技术学院 " 北京 ."""DB $ B % 澳门科技大学资讯科技学院 $
E7FG(H &+1*I)JK*LM,$&NM$L*
摘
要
基于 0()12 逼近定理 " 研究了一类带有附加导数条件的广义 %&’(&) 曲线拟合方法 & 该方法可以在每个型值点再
!"
!""#$!" 计算机工程与应用
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带导数控制条件的广义 &’()’* 曲线
假 定 给 定 型 值 点 向 量 !"!!%!" !!" 此 外 ! 给 出 导 数 相 应 的
##$ #$ $ &$ $
特别端点处有 ’
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广 义 &’()’* 曲 线 ’"!% &!"!!%! " !!"(( $!( ","$%- 具 有 如 下 特 点’ &% $ 通过端点 从表达式直接计算 ! 并令 (+" !% ! 有 ’
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! ! ! ! 众所周知 !%&’(&) 曲线 " 面 # 在计算 机 辅 助 几 何 设 计 中 占 有
重 要 地 位 ! 工 程 师 运 用 %&’(&) 方 法 作 造 型 设 计 ! 可 以 像 他 们 熟 悉的作图工具那样得心应手 $ 由于 %&’(&) 曲线 " 面 % 有诸多良好 性 质 ! 人 们 进 一 步 建 立 了 有 理 %&’(&) 方 法 ! 并 广 泛 地 应 用 于 解 决工程问题 $ 当 使 用 %&’(&) 方 法 时 ! 首 先 给 定 所 谓 型 值 点 " 也 就 是 控 制 多边形的顶点 %! 则拟合曲线通过首末两个端点 ! 并在首末两个 端点处 ! 分别与控制多边形的首末两个边相切 $ 显然 ! 人们不能 对曲线提出另外的附加控制条件 $ 然而 ! 在实际工程问题中 ! 为 了 控 制 曲 线 的 整 体 或 局 部 形 状 !有 时 会 增 加 约 束 !这 时 通 常 的 手段是不得不分片特殊处理 $ 于是 ! 使用传统的 %&’(&) 方法则 事倍功半 $ 在实际工程问题中 ! 最常见的曲线拟合约束是除了 给定型值点之外! 再给出切线条件$ 本文基于一类推广了的