数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3.4 生活中的优化问题举例
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方 法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性 定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
数学 选修1-1
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[提示] 设容积为 V，圆柱体的底面半径为 x，则高为πVx2， 总造价 y＝2πx2·am＋2πx×πVx2·m＝2πmax2＋πVx，
通过求导，令 y′＝0，求得 x.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
解析： 设船速为 x(x>0)，燃料费用为 Q 元，则 Q＝kx3. 由 6＝k×103，得 k＝5300.∴Q＝5300x3. ∴总费用 y＝5300·x3＋96·1x＝5300x2＋9x6.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
y′＝5060x－9x62 ，令 y′＝0，得 x＝20. 当 x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减； 当 x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增． ∴当 x＝20 时，y 取得最小值． ∴此轮船以 20 千米/时的速度行驶，每千米的费用总和最小.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
面积、容积的最值问题
在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体， 则圆柱体的半径r为多大时：
(1)圆柱体的体积最大？ (2)圆柱体的表面积最大？ [思路点拨] 由题意写出关于r的体积与表面积函数，用导 数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值．
V′＝13π(400－3x2)，令 V′＝0， 解得 x1＝230 3，x2＝－230 3(舍去)．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
当
20 0<x< 3
3时，V′>0;0，
∴当 x＝230 3时，V 取最大值．
答案： C
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．将长度是8的均匀直钢条截成两段，使其立方和最小，
则分法为( )
A．2与6
B．4与4
C．3与5
D．以上均错
解析： 设一段长为x，则另一段为8－x，其中0<x<8.
设y＝x3＋(8－x)3，则y′＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)．
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
最优化问题
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解决优化问题的基本思路
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解决优化问题的一般步骤 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找 出问题的主要关系． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待 求最值的对象表示为该变量的函数．
高效测评 知能提升
1．通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤． 2．会利用导数解决某些实际问题．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2012春，我国云南遭遇特大旱灾， 为确保农业生产用水，某市及时下拨资 金建水塔和泵房．已知水塔为圆柱体， 其上、下底的单位面积造价是侧面单位 面积造价的a倍．当其容积为常量时， 应如何设计水塔的尺寸能使总造价最 低？
数学 选修1-1
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为 V，表面积为S，设△ABC中BC边上的高为H，如图所示．
则 V＝πr2h，S＝2πr2＋2πrh. H－H h＝Rr ，∴h＝H1－Rr ， ∴V＝πr2H1－Rr ＝πHr2－π·HRr3(0<r<R)， S＝2πr2＋2πrH1－Rr ＝2πr2－2π·HRr2＋2πHr(0<r<R)．
答案：
20 3 3 cm
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正 比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而 其他与速度无关的费用是每小时96元．问此轮船以何种速度航 行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝ 17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使 利润最大，应生产( )
A．9千台
B．8千台
C．6千台
D．3千台
解析： 利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数得y′ ＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．
令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小．
答案： B
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体 积最大，则高为________．
解析： 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202－x2cm， 其体积为 V＝13πx(202－x2)(0<x<20)，