第三章 矩阵标准型
3.1 Jordan 标准型
矩阵理论第3讲 - 1
内容回顾
相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得
P 1 AP B
则称矩阵 B 是矩阵A 的相似矩阵， 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A 进行运算 P
AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
Jordan标准形
如何将矩阵A化为Jordan标准形J
A (aij ) C nn , E A是A的特征矩阵，记为 A（）。
1、k 级行列式因子： A( ) 中所有非零的k 阶子式的首项系 数为1的最大公因式 Dk ( )
2、不变因式： Dk ( ) d1 ( ) D1 ( ), d k ( ) (1 k n) Dk 1 ( ) Dk ( ) d1 ( )d 2 ( )d k ( ) (k 1,n) 3、初级因子：将 A( ) 的每个次数大于0的不变因式分解成互 不相同的一次因式的方幂的乘积，这些一次因式方幂（相同 的出现必须按出现次数计算）就是 A( ) 的初级因子
矩阵理论第3讲 - 18
Jordan标准形 举例（1）：
1 0 1 A 1 2 0 4 0 3
1 1 J 1 2
p2 p3 ) 可得 AP PJ 设相似变换矩阵 P ( p1 ，由
Ap1 p1 Ap2 p1 p2 Ap 2 p 3 3 ( I A) p1 0 ( I A) p2 p1 (2 I A) p 0 3
从而 D2 ( ) D1 ( ) 1 于是 A( 的不变因子为： )
d1 () d2 () d3 () 1, d4 () ( 1)3 ( 3) A(的初等因子为： ) ( 1)3 , ( 3)
A的Jordan标准形为：
1 0 J 0 0
2 3 4 1 2 3 ( 1) 4 0 1 2 0 0 1
2 3 2 4 3 4 ( 1)
1
A) 考察 (I 的一个三阶子式：
0
1 2
矩阵理论第3讲 - 12
Jordan标准形（Continue）
显然，要让 D3 ( 同时整除上面的三阶子式及 ) 以：
Jordan标准形
所以， ( I A) p2的通解为： p1
1 1 2 2 1 1 p2 k 2 2 0 1 0 1 取k = 1，则 p2 ，那么所用的相似变换矩阵为 1 1 p1 1 2 0 p3 1 0
矩阵理论第3讲 - 17
Jordan标准形 的相似变换矩阵 P的求法： A ~J nn P Cn P 1 AP J 设
nn P 1 , 2 i 1 , i n Cn
AP PJ
1 0 A 1 , 2 i 1 , i n 1 , 2 i 1 , i n 0 0
1 (1 )) 1 0 2 2 0 1 1 II ((1 2 2) I (1 2 ( 1)) 1 1 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 2 0
矩阵理论第3讲 - 20
1 1 1 2 1 1 ( 1)3 ( 3) 2 1 2 0 0 3
2
A) 考察 (I 的一个三阶子式：
2 1
1
1 1 ( 1) 3
2
2
1
矩阵理论第3讲 - 14
Jordan标准形（Continue）
考察
(的一个三阶子式： I A)
矩阵理论第3讲 - 3
内容回顾
相似矩阵的线性变换语言叙述
相似的矩阵是同一个线性变换在不同基/坐标系下的 的不同描述。 我们知道一个有限维线性空间到自己上的线性变换可 以用矩阵表示，但是对于同一个线性变换，当取不同 的基时，对应的矩阵是不同的。这个不同就等价于矩 阵的相似。换句话说，矩阵商掉相似这个等价关系之 后就是线性变换全体。而相似标准型就是对于一个线 性变换，来找一组基，使得它在这组基下有比较漂亮 容易处理的形式。
求出 A( 的不变因子 )
) 3. 求出 A( 的初等因子，并据此写出 A的Jordan标准形
矩阵理论第3讲 - 11
Jordan标准形 例(1)
1 2 0 1 A 0 0 ——上三角阵 0 0
3 4 2 3 1 2 0 1
1
0 D4 ( ) det(I A) 0 0
矩阵理论第3讲 - 4
Jordan标准形
但是不是任何一个n阶方阵A 都与对角阵相似，不过我们可
以找到一个比对角阵稍复杂的约旦标准型J，使得A与J 相
似。
矩阵理论第3讲 - 5
Jordan标准形
Jordan块
i 0 Ji 0 0 1 0 0 F ri ri 1 i 0
是不可能的，所 D4 ( )
D3 ( ) 1
从而 D2 ( ) D1 ( ) 1
) 于是 A(的不变因子为：
d1 () d2 () d3 ( ) 1, d4 () ( 1)4
A( ) 的初等因子为：
( 1)4
A的Jordan标准形为：
1 0 J 0 0
矩阵理论第3讲 - 8
Jordan标准形 问题： 求矩阵
1 2 A 1 2
的特征矩阵的不变因子和初等因子 解： A的特征矩阵为
1 2 I A 1 2
矩阵理论第3讲 - 9
1 0 0 P 1 1 1 2 1 0
矩阵理论第3讲 - 21
Jordan标准形（Continue）
A(的行列式因子为 )
D4 ( ) det(I A) ( 1)( 1)( 2)( 2)
D3 ( ) D2 ( ) D1 ( ) 1
A(的不变因子为 )
d1 ( ) D1 ( ) 1 d 2 ( ) d 3 ( ) 1 d 4 ( ) D4 ( ) D3 ( ) ( 1)( 1)( 2)( 2)

0
i 1 0 0 0
0 1 0 0 i 0 1 0 0 n 0 0
A i i i A i i 1 i i
A的属于 i 的特征向量 A的属于 i 的广义特征向量
(i I A) i 0 (i I A) i i 1
A(的全部初等因子为 ) ( 1), ( 1), ( 2), ( 2)
矩阵理论第3讲 - 10
Jordan标准形（Continue）
行列式因子法求方阵的Jordan标准形的步骤
A 1. 求特征矩阵 (I 的 n) 个行列式因子
2. 根据
Dk ( ) , (k 1,2,, n) D ( ) d k ( ) k (1 k n) Dk 1 ( ) di ( ) , (i 1,2,, n)
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 3
矩阵理论第3讲 - 16
Jordan标准形 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan标准型J相似。这个Jordan标准型 在不计入其中Jordan块的排列次序时，完全由矩阵A 唯一确定。 用线性变换的语言叙述就是：设T 是复数域n 维线性空间V 上的线 性变换，则在V 中必存在一组基，使T 在这组基下的矩阵是Jordan 形矩阵。在不计入其中Jordan块的排列次序时，这个Jordan形矩阵 由T 唯一确定。 A与对角阵相似 A的初级因子全是一次的。
性质: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、
相同的行列式、相同的迹、相同的秩
矩阵理论第3讲 - 2
－1
内容回顾
对 n 阶方阵 A ，如果可以找到可逆矩阵 P， 使得 P 1 AP 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。
1 2 相似， A 若矩阵 nn 与对角阵 n 则 1 , 2 ,, n 是 A 的 n 个特征值。
i
0 0
其中 i 可以是实数，也可以是复数。
2 1 0 2
0 1 i 1 0 1 i 1 0 0 1 i
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
矩阵理论第3讲 - 6
1 p1 1 2
0 p3 1 0
矩阵理论第3讲 - 19
Jordan标准形
考察增广矩阵
2 0 1 1 I (3( 1 )) 2 I (1( 1 ) 3) ( I A , p1 ) 1 1 0 1 4 0 2 2
2
2 1
比较：
1
1 1 ( 3)(2 5) 2 1 1 ( 1) 3
2
2 1
2
2 1
显然，要让
2
2
1
D4 ( ) 是不可能的，所以：
同时整除上面的三阶子式及 D 3 ( )
D3 ( ) 1
矩阵理论第3讲 - 15
Jordan标准形（Continue）
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
矩阵理论第3讲 - 13
Jordan标准形 举例(2)
2 1 1 1 2 2 1 1 A 1 2 1 2 0 0 0 3