抽象函数的周期和对称性一、关于周期性的结论1. ()()f x T f x +=型：f x ()的周期为T 。

2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。

证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+⇒=+-。

3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。

证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()4. )(1)(x f a x f ±=+型：f x ()的周期为2a 。

证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=+==2111。

5. f x a f x f x ()()()+=+-11型：f x ()的周期为4a 。

证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()()+=++=++-+211 =++--+-=-1111111f x f x f x f x f x ()()()()()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=-+=--=4221211。

6. 两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。

证明：f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-⎧⎨⎩⇒-=-⇒=+-222222，。

7. 一线一点对称型 ： 函数f x ()关于直线x a =及点(,0)b 对称，则f x ()的周期为||44b a -。

证明：f x f a x f b x f x f a x f b x f x b a f x ()()()()()()()()=--=-⎧⎨⎩⇒-=--⇒+-=-222222，所以f x b a f x b a b a f x b a f x f x ()[()]()[()]()+-=+-+-=-+-=--=442222228. 两点对称型： 函数f x ()关于点(,0)a 、(,0)b 对称，则f x ()的周期为||22b a -。

证明：f a x f x f b x f x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()222222-=--=-⎧⎨⎩⇒-=-⇒=+-。

二、关于对称性的结论（1）若()()f x f a x =-，则()f x 关于2ax =对称 （2）若()()f a x f a x +=-，则()f x 关于x a =对称 （3）若()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2a bx +=对称习题1. 设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知[2,2]x ∈-时，函数2()1f x x =-+，则[6,2]x ∈--时，()f x = .2.在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在 区间]2,1[上是减函数，则()f x （ ）A. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是增函数B. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是减函数3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x = 对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= .4. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 25. 已知偶函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,0]x ∈-时，4()39xf x =+， 则13(log 5)f 的值等于（ ）A. 1-B.5029 C. 45101 D. 1 6. 设()f x 为R 上的奇函数，且()(3)0f x f x -++=，若(1)1f -=-， (2)log 2a f <，则a 的取值围是 . 7. 函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-， 则((5))f f 等于（ ） A. 5 B. 5- C.51 D. 51- 8. 已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件： ① 对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x +=； ② 对于任意的1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <； ③ 函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称。

则下列结论正确的是（ ）A. (6.5)(5)(15.5)f f f >>B. (5)(6.5)(15.5)f f f >>C. (5)(15.5)(6.5)f f f >>D. (15.5)(5)(6.5)f f f >> 9．定义在),(∞+∞-上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且在]0,1[- 上是增函数，下面是关于()f x 的判断： ①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称； ③()f x 在]1,0[上是增函数； ④(2)(0).f f =其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。

10． 函数()()y f x x R =∈满足()f x 是偶函数，又(0)2003f =，()(1)g x f x =-为奇函数，则(2004)f = .11． 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则f (.)20055=（ ）A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.512．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-,当102x <<时,xx f 4)(=,则)411(-f =____ _.13．对于函数()y f x =定义域为R 而言,下列说法中正确的是________.(填序号) ①函数(1)y f x =+的图像和函数(1)y f x =-的图像关于1x =对称. ②若恒有(1)(1)f x f x +=-,则函数()y f x =的图像关于1x =对称. ③函数(21)y f x =+的图像可以由(2)y f x =向左移一个单位得到. ④函数()y f x =和函数()y f x =--图像关于原点对称.14．定义在R 上的函数()f x ,对任意x R ∈都有)()3(x f x f =+,当)0,3(-∈x时,x x f 3)(=,则=)2014(f ________.15．已知()x f 是以2为周期的函数,且当[]3,1∈x 时,()x x f x2log 4+=,则()=-1f_ __.16．定义在R 上的函数()y f x =满足1(0)0,()(1)1,()()52x f f x f x f f x =+-==,且当1201x x ≤<≤时,12()()f x f x ≤,则1()2013f =____________.17．已知函数()x f 是奇函数,且当0>x 时,()123++=x x x f ,则当0<x 时,()x f 的解析式为_ _.18．若函数2()1ax f x x -=-的图象关于点(1,1)对称,则实数a =___________. 19．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,()21x f x =+.若()3f a =,则实数a的值为_______;20．已知函数)1(+=x f y 的图像过点32(,),则函数f x ()的图像关于x 轴的对称图形一定过点_______________.21．设函数()f x 是周期为5的奇函数,当02x <≤时,()23x f x =-,则(2013)f=______ __.22．对于函数()()y f x x R =∈,给出下列命题:(1)在同一直角坐标系中,函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称; (2)若(1)(1)f x f x -=-,则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称; (3)若(1)(1)f x f x +=-,则函数()y f x =是周期函数;(4)若(1)(1)f x f x -=--,则函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称. 其中所有正确命题的序号是_____________.23．若函数()f x 是周期为5的奇函数,且满足(1)1,(2)2f f ==,则(8)(14)f f -=_____. 24．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且(4)()f x f x +=,当(0,2)x ∈时, ()2f x x =+,则(7)f =__ __25．设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |的图像关于直线x ＝2对称，则a 的值为________．26．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意的x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立,若(1)3f =-,则(2013)f =____________. 27．已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数.(1)求,a b 的值;(2)用定义证明()f x 在R 上为减函数;(3)若对于任意[]2,2t ∈-,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-+<恒成立,求k 的取值围.答案： 1、2()(4)1f x x =-++；2、B ；3、0 4、B 5、D 6、1a >或102a << 7、 D 8、A 9、①②④；10、2003. 1112、 13、②④ 14、91,分析:周期为3)2()23672()2014(-=-⨯=f f f 15、 4. 16、321 17.()123-+=x x x f ;18、 1 19、1± 20、 (4,-2) 21、1- 22、③④ 23、1- 24、—3 25、 6 26、3-。