课时跟踪检测（十九） 曲线与方程
一、基本能力达标
1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x C.y ＋1x －2
＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2
解析：选D 考察每一组曲线方程中x 和y 的取值范围，不难发现A ，B ，C 中各对曲线的x 与y 的取值范围不一致．
2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )
A ．π
B ．4π
C ．8π
D ．9π
解析：选B 设P 为(x ，y )，由|PA |＝2|PB |，得
(x ＋2)2＋y 2＝2
(x －1)2＋y 2，
即(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π. 3．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( ) A ．前后两者都是一条直线和一个圆 B ．前后两者都是两个点
C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点
D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆
解析：选C x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1，表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x 2＋(x 2
＋y 2－1)2＝0⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2＋y 2
－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝±
1，表示点(0,1)，(0，－1)． 4．已知点A (0，－1)，点B 是抛物线y ＝2x 2＋1上的一动点，则线段AB 的中点M 满足的方程为( )
A ．y ＝2x 2
B ．y ＝4x 2
C ．y ＝6x 2
D ．y ＝8x 2
解析：选B 设B (x 0，y 0)，M (x ，y )．∵M 是AB 的中点，∴x ＝x 0＋02，y ＝y 0－1
2
，得x 0＝
2x ，y 0＝2y ＋1.又∵B (x 0，y 0)在抛物线y ＝2x 2＋1上，∴y 0＝2x 20＋1，即2y ＋1＝2(2x )2
＋1，因此
y ＝4x 2，故M 满足的方程为y ＝4x 2.
5．在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A (1,0)，B (2,2)．若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→
－OA ―→
)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是____________．
解析：设点C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→
)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝2t ，
消
去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.
答案：y ＝2x －2
6．方程x 24－k ＋y 2
k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：
①曲线C 不可能是圆； ②若1<k <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；
④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <5
2.
其中正确的命题是________．
解析：当4－k ＝k －1，即k ＝52时表示圆，命题①不正确；显然k ＝5
2∈(1,4)，∴命题②不
正确；若曲线C 为双曲线，则有(4－k )(k －1)<0，即k <1或k >4，故命题③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －1>0，解得1<k <5
2
，命题④正确．
答案：③④
7．已知直角三角形ABC ，∠C 为直角，A (－1,0)，B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程．
解：设C (x ，y )，则AC ―→＝(x ＋1，y )， BC ―→
＝(x －1，y )． ∵∠C 为直角，
∴AC ―→⊥BC ―→，即AC ―→·BC ―→＝0， 即(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0.化简得 x 2＋y 2＝1.
∵A ，B ，C 三点要构成三角形， ∴A ，B ，C 不共线，∴y ≠0，
∴C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．
8．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ―→＝OM ―→＋ON ―→
，求动点Q 的轨迹．
解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ―→＝OM ―→＋ON ―→，
即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y
2
.
又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 2
0＝4，
即x 2＋
y 2
4
＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 2
16＝1(y ≠0)．
二、综合能力提升
1．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示一条( )
A ．过点P 且垂直于l 的直线
B ．过点P 且平行于l 的直线
C ．不过点P 但垂直于l 的直线
D ．不过点P 但平行于l 的直线
解析：选B ∵P (x 0，y 0)不在直线l 上，∴f (x 0，y 0)≠0. ∴方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的直线与l 平行．
又f (x 0，y 0)－f (x 0，y 0)＝0，∴点P (x 0，y 0)在方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的直线上，即直线过点P .
2．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π
3 B.5π3 C.π3或5π3
D.π3或π6
解析：选C 将点P 的坐标代入曲线(x －2)2＋y 2＝3中，得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，解得cos α＝12.又0≤α<2π，所以α＝π3或5π
3
.故选C.
3．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3]
D ．[1－2，3]
解析：选C 曲线方程可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆．当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时，需满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 的距离等于2，即|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1＋22或b ＝1－2 2.因为是下半圆，所以b ＝1＋22应舍去．当直
线过点(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.
4．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP ―→·MN ―→
＝4，求动点P 的轨迹方程．
解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN ―→
＝(x ，－2y )， 故OP ―→·MN ―→＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2， 依题意知，x 2－2y 2＝4，
因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.
5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→
＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→
＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.
所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故点O在线段PM的垂直平分线上．又点P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－1
3
，
故直线l的方程为y＝－1
3x＋8
3
，即x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为|－8|
12＋32
＝410
5
，|PM|＝2(22)2－⎝⎛⎭⎫
410
5
2
＝410
5
，
所以△POM的面积为1
2×410
5×
410
5
＝16
5.。