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解:
={1,2,3,4,5,6}
B={1,2,3,4} A+B={1,2,3,4,5} BA={2,4}
AC=
A={1,3,5} C={2,4} AB={5} AB={1,3} CA={2,4}
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例2 从一批产品中每次取出一个产品进行检 验第(i次每取次到取合出格的品产(品i=不1,2放,3回). 试), 事用件事A件i表的示运 算符号表示下列事件: 三次都取到了合格品; 三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品.
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例3 袋内装有5个白球, 3个黑球, 从中任取两个 球, 计算取出的两个球都是白球的概率.
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例4 一批产品共200个, 废品有6个, 求(1)这批 产品的废品率; (2)任取3个恰有一个是废品的 概率;(3)任取3个全非废品的概率 解 设P(A), P(A1), P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求 的概率,则
现哪一种结果
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样本空间:
给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成一个集合,
这个集合称作样本空间, 用大写的希腊字母表示,
这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的
一个样本点, 可以用小写的希腊字母表示. 随机事件:
随机事件就是样本空间的子集, 或者说事件就是试 验结果的集合, 通常用大写英文字母A, B, C, …等 表示.
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加法法则 两个互不相容(互斥)事件之和的概率等
于它们的概率的和. 即当AB=时,
P(A+B)=P(A)+P(B) 实际上, 只要P(AB)=0, 上式就成立.
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如果n个事件A1,A2,…,An互不相容, 则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
A1
A2
A3
A4
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不放回抽样(排列) 还是这52张牌, 每次抽出一张, 但不放回, 则第 二次抽时只有51张牌, 第三次就只有50张牌. 如果这样抽5次, 就共有
5251504948=52!/47! 种抽法 一般地, 从N个元素中抽取n个(nN), 共有
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不放回抽样(组合) 如果从N个元素中不放回抽样n个, 但不关心 其顺序, 比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作 一样, 则称为组合, 因此, 组合的数目要比排列 的数目小n!倍, 记作
事件的关系
事件的包含 事件的相等
事件的并(和)
事件的交(积) 事件的差 对立事件
互不相容事件
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完备事件组
若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件, 并且
A1+A2+…+An=, 称构成一个完备事件组或构成一个
划分. 最常用的完备事 件组是某事件A与 它的逆
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例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数 事件A表示"奇数点", 事件B表示"点数小于5", C表示"小于5的偶数点". 用集合的列举表示法 表示下列事件:
3
几个特殊的事件
基本事件: 只包括一个样本点, 或者说一个试验结果 的事件称为基本事件.
必然事件: 包括整个样本空间的所有元素的事件, 或者就用表示, 则每次试验必然发
生, 因此称为必然事件. 不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即每次试验一
定不会发生, 称为不可能事件, 用表示, 则={}.
4
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若n个事件A1,A2,…,An构成一完备事件组, 则 它们的概率的和为1, 即 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
特别地, 两个对立事件概率之和为1, 即
A1
A2
A3 A4
A
A
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经常有一些概率论的较难的题, 直接计算某事 件的概率困难, 因此考虑先求此事件的逆事件 的概率 例如 掷3次硬币, 求至少一次正面朝上的概率. 解: 假设A={至少一次正面}, 则
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放回抽样
假设一副牌有52张, 将它们编号为1,2,…,52. 每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这 张牌仍有机会被抽到), 这叫放回抽样. 假设共 抽了5次, 共有多少种可能的抽法? 第一次有52种抽法, 在第一次的每一种抽法中, 第二次又有52种抽法, …, 因此抽5次共有
5252525252=525 种抽法. 一般地, 从n个元素中进行m次放回抽样, 则共 有nm种抽法.
A={全是反面}, 只包含一个基本事件. 基本事件总数为23=8, 因此
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例5 产品有一, 二等品及废品3种, 若一, 二等品率分 别为0.63及0.35, 求产品的合格率与废品率.
解 令事件A表示产品为合格品, A1,A2分别表示一,二等 品. 显然A1与A2互不相容, 并且A=A1+A2, 则
1.6 概率与数理统计
1.6.1 概率论的基本概念
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1.6.1 概率论的基本概念
1.随机事件
随机试验:
概率论里所研究的试验有下列特点: (1) 在相同的条件下试验可以重复进行; (2) (2) 每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验
之前可以明确试验的所有可能结果; (3) (3) 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出
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3.古典概型
有一类试验的特点是: (1)每次试验只有有限种可能的试验结果 (2)每次试验中,各基本事件出现的可能性完全 相同. 具这两个特点的试验称为古典概型试验. 在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的 试验结果, 因此每个基本事件发生的概率为 1/n, 如果事件A包含有m个基本事件, 则事件A 发生的概率则为m/n.
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解: 三次全取到合格品: A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3 三次中恰有两次取到合格品:
三次中至多有一次取到合格品:
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2. 概率ห้องสมุดไป่ตู้
给定事件A, 存在着一个正数P 与之对 应, 称之为事件A的概率, 记作P(A)或P{A}. 最高的发生概率为1, 表示必然发生. 最低的概率为0, 表示不可能发生. 而一般的随机事件的概率介于0与1之间.
P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.98
P( A) 1 P( A) 1 0.98 0.02
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例6 一个袋内装有大小相同的7个球, 4个是白球, 3个为黑球. 从中一次抽取3个, 计算至少有两个 是白球的概率.
解 设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3), 显然A2与A3互不相容, 且