讲次01 有理数的分类及数轴考点一、有理数分类按照整数和分数的分类【注意】0既不是正数也不是负数。

按正数、负数、和零的关系分类有理数分类注意事项：1.无限不循环的小数不是有理数，比如：圆周率。

2.无限循环的小数是有理数，比如：0.6666666…3.如200%，6/3能约分成整数的数不能算做分数考点二、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 实心点表示包括本数，空心点表示不包括本数。

命题角度一 正负数在实际生活中的应用例题1．如果向东走2m 记为2m +，则向西走3m 可记为( ) A ．3m +B ．2m +C ．3m -D ．2m -【解析】若向东走2m 记作+2m ，则向西走3m 记作-3m ，选C ．变式1．如果+20%表示增加20%，那么﹣6%表示（ ） A ．增加14%B ．增加6%C ．减少6%D ．减少26%【解析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以如果+20%表示增加20%，那么﹣6%表示减少6%．选C ．变式2．四个足球与足球规定质量偏差如下：﹣3，+5，+10，﹣20（超过为正，不足为负）．质量相对最合规定的是（ ）A ．+10B ．﹣20C ．﹣3D ．+5 【分析】质量偏差越少越好，最符合规定的是﹣3. 【解析】最符合规定的是﹣3，选C . 【小结】本题主要考查负数的意义.变式3．花店、书店、学校依次坐落在一条东西走向的大街上，花店位于书店西边100米处，学校位于书店东边50米处，小明从书店沿街向东走了20米，接着又向西走了–30米，此时小明的位置（ ） A ．在书店 B ．在花店 C ．在学校D ．不在上述地方【分析】由题意知，可看作书店为原点，花店位于书店西边100米处，即-100米，学校位于书店东边50米处，即+50米，解答出即可．【解析】根据题意：小明从书店沿街向东走了20米，接着又向西走了–30米，即向东走了50米，而学校位于书店东边50米处，故此时小明的位置在学校．选C ．【小结】本题考查类比点的坐标及学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，解题的关键在于对正负坐标的理解．命题角度二有理数的分类例题2．把下列各数填入它所在的数集的括号里．﹣12，+5，﹣6.3，0，﹣1213，245，6.9，﹣7，210，0.031，﹣43，﹣10%正数集合：{…}整数集合：{…}非负数集合：{…}负分数集合：{…}．【解析】正数集合：{+5，245，6.9，210，0.031 …}；整数集合：{+5，0，﹣7，210，﹣43 …}；非负数集合：{+5，0，245，6.9，210，0.031 …}；负分数集合：{﹣12，﹣6.3，﹣1213，﹣10% …}．故答案为{+5，245，6.9，210，0.031…}；{+5，0，﹣7，210，﹣43…}；{+5，0，245，6.9，210，0.031 …}；{﹣12，﹣6.3，﹣1213，﹣10%…}．变式1．所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中：－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0.618，0，－0.101正数集合：{ …}；负数集合：{ …}；分数集合：{ …}；非负数集合：{ …}．【解析】正数集合：{3.14，＋72，0.618，…}；负数集合：{－2.5，－2，－0.6，－0.101，…}；分数集合：{－2.5，3.14，－0.6，0.618，－0.101，…}；非负数集合：{3.14，＋72，0.618，0，…}．变式2．（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里；2016，﹣15%，﹣0.618，712，﹣9，﹣23，0，3.14，﹣72（2）上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．【解析】（1）根据题意如图：（2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合；（3）最大数是2016，最小数是72-，∴最大的数与最小的数之和2016(72)1944+-=．命题角度三数轴的三要素及画法例题3．下列数轴画正确的是()A．B．C．D．【解析】A、没有单位长度，故错误；B、没有正方向，故错误；C、原点、正方向、单位长度都符合数轴的条件，故正确；D、数轴的左边单位长度的表示有错误．选C．变式1．下列图中数轴画法不正确．．．的有（）.（1）（2）（3）（4）（5）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】（1）没有正方向，数轴画法不正确；（2）单位不统一，数轴画法不正确；（3）缺少单位长度，数轴画法不正确；（4）单位不统一，数轴画法不正确；（5）符合数轴的定义，数轴画法正确．选C．变式2．下列各图表示数轴正确的是（）A．B．C．D．【解析】各图表示数轴正确的是：．选C．命题角度四用数轴上的点表示有理数例题4．如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣0.5 D．0.5【解析】由数轴可知小手遮挡住的点在-1和0之间，而选项中的数只有-0.5在-1和0之间，所以小手遮挡住的点表示的数可能是-0.5，选C．变式1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．－1【解析】数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1，选D．【小结】考查有理数与数轴上点关系，任何一个有理数都可以用数轴上点表示，在数轴上，原点左边点表示负数，原点右边点表示正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.变式2．如图，25倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间( )A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H【解析】25的倒数是52，∴52在G和H之间，选D．变式3．若|a|=﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A．原点左侧B．原点或原点左侧C．原点右侧D．原点或原点右侧【解析】∵|a|=-a，∴a一定是非正数，∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧，选B．命题角度五利用数轴表示有理数的大小例题5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a【解析】根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即得出答案．∵从数轴可知：a＜0＜b，∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，∴﹣b＜0＜﹣a，变式1．，在数轴上位置如图所示，则，，，的大小顺序是( )A．B．C．D．【分析】从数轴上a b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，根据以上结论即可得出答案．【解析】从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a |，∴-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，即b＜-a＜a＜-b，选D．变式2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b【解析】试题分析：A．如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；B．如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；C．如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣3＜a＜﹣2，故a＜﹣b，故此选项错误；D．由选项C可得，此选项正确．选D．变式3．有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A．m<-1B．n>3C．m<-n D．m>-n【解析】由数轴可得，-1＜m＜0＜2＜n＜3，选项A错误，选项B错误，∴m＞-n，选项C错误，选项D正确命题角度六 数轴上的动点问题例题6．如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m 、n 、p 、q ，如图2，先让圆周上表示m 的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示-2019的点与圆周上重合的点对应的字母是（ ）A ．mB ．nC ．pD ．q【解析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，-1，-2，-3，则分别与圆周上表示字母为m ，q ，p ，n 的点重合．2019÷4=504...3，故-2016与n 点重合.变式1．在数轴上，把表示﹣4的点移动1个单位长度后，所得到的对应点表示的数为（ ） A ．﹣2B ．﹣6C ．﹣3 或﹣5D ．无法确定【分析】分两种情况讨论：把表示﹣4的点向左移动1个单位长度或向右移动1个单位长度，然后根据数轴表示数的方法可分别得到所得到的对应点表示的数．【解析】把表示﹣4的点向左移动1个单位长度为－5，向右移动1个单位长度为－3．选C ． 【小结】考查数轴：数轴三要素（正方向、原点和单位长度）；数轴上原点左边点表示负数，右边的点表示正数；左边的点表示的数比右边的点表示的数要小．也考查了分类讨论的思想．变式2．已知数轴上的三点A 、B 、C ，分别表示有理数a 、1、﹣1，那么|a +1|表示为（ ） A ．A 、B 两点间的距离 B ．A 、C 两点间的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ．A 、C 两点到原点的距离之和 【解析】因为1(1)a a +=--，所以1a +表示A 点与C 点之间的距离，选B变式3．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）A．﹣2πB．1﹣2πC．﹣πD．1﹣π【解析】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边．∴A点对应的数是1﹣2π．选B．讲次02 绝对值与相反数考点一相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）注意：1、通常a与-a互为相反数；2、a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；3、特别注意，0的相反数是0.考点二绝对值正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

（互为相反数的两个数的绝对值相等。

）命题角度一求一个数的相反数例题1．﹣25的相反数是（）A．﹣25B．25C．﹣52D．52【解析】-25的相反数是：25．选B．变式1．如果a表示有理数,那么下列说法中正确的是( )A．+a和一(-a)互为相反数B．+a和-a一定不相等C．-a一定是负数D．-(+a)和+(-a)一定相等【解析】A.()a a--=，两个数相等，故错误.B.当0a=时，a+与a-相等，故错误.C.a-可以是正数，也可以是负数，还可以是0.故错误.D．正确，选D.变式2． -(－6)的相反数是 （ ） A ．|－6|B ．－6C ．0.6D ．6【解析】−(−6)=6，∴6的相反数是−6，选B .变式3．已知1=a ，b 是2的相反数，则+a b 的值为( ) A ．-3B ．-1C ．-1或-3D ．1或-3【解析】∵1=a ，b 是2的相反数，∴1a =或1a =﹣，2b =﹣， 当1a =时，121a b +==﹣﹣；当1a =﹣时，123a b +==﹣﹣﹣； 综上，+a b 的值为-1或-3，选C ．命题角度二 判断两个数是否互为相反数 例题2．下列各组数中，互为相反数的是( ) A ．-（-1）与1B ．（－1）2与1C ．|1|-与1D ．－12与1【解析】选项A ，-（-1）与1不是相反数，选项A 错误；选项B ，（－1）2与1不是互为相反数，选项B 错误；选项C ，｜-1｜与1不是相反数，选项C 错误；选项D ，－12与1是相反数，选项正确．故答案选D ．变式1． A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ） A ． B ． C ．D ．【解析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，并且在原点的两侧，可知只有B 答案正确．选B ．变式2．如图，数轴上有 A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）A ．点B 与点 DB ．点 A 与点 CC ．点 A 与点 DD ．点 B 与点 C【解析】到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数，选C变式3．下列各对数互为相反数的是（ ） A ．＋(＋3)与－(－3) B ．＋(－3)与－(＋3) C ．＋|＋3|与＋|－3|D ．＋|－3|与－|＋3|【解析】A 、+（+3）=3，-（-3）=3，两者相等，故本选项错误； B 、＋(－3)=-3，－(＋3)=-3，两者相等，故本选项错误； C 、＋|＋3|=3，＋|－3|=3，两者相等，故本选项错误； D 、＋|－3|=3，－|＋3|=-3，两者互为相反数，故本选项正确； 选D ．命题角度三 多重符号化简例题3．下列化简，正确的是（ ） A ．﹣（﹣3）=﹣3 B ．﹣[﹣（﹣10）]=﹣10 C ．﹣（+5）=5D ．﹣[﹣（+8）]=﹣8【解析】A 、-（-3）=3，故错误；B 、-[-（-10）]=-10，故正确； C 、-（+5）=-5，故错误；D 、-[-（+8）]=8，故正确． 选B ．变式1．化简－(+2)的结果是（ ） A ．－2B ．2C ．±2D ．0【解析】-（+2）=-2，选A ．变式2．下列各数中互为相反数的是（ ） A ．(5)+- 与 5- B ．(5)-+ 与 5- C ．(5)-+ 与|5|--D ．(5)-- 与 (5)+-【解析】A 、+（-5）=-5，选项错误；B 、-（+5）=-5，选项错误； C 、-（+5）=-5，-|-5|=-5，选项错误；D 、-（-5）=5，+（-5）=-5，5与-5互为相反数，选项正确，选D ．变式3．﹣（﹣3）的绝对值是（ ） A ．﹣3B ．13C ．3D ．﹣13【解析】∵﹣（﹣3）＝3，3的绝对值等于3， ∴﹣（﹣3）的绝对值是3，即|﹣（﹣3）|＝3．选C ．命题角度四 相反数的应用例题4．已知x ﹣4与2﹣3x 互为相反数，则x =（ ） A ．1B ．﹣1C ．32D ．﹣32【解析】因为x ﹣4与2﹣3x 互为相反数, 所以x ﹣4+2﹣3x =0,解得:x =-1. 选B .变式1．若37m -和9m -互为相反数，则m 的值是（ ） A ．4B ．1C ．1-D ．4-【解析】由题意知3790m m -+-=，则379m m -=-，22m =-，1m =-，选C ．变式2．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于（）A．2 B．-2 C．1 D．-1 【解析】由a与1互为相反数，得a+1=0,即a=-1，故|a+2|=|-1+2|=1.选C命题角度五求一个数的绝对值例题5．2019-=( )A．2019 B．-2019 C．12019D．12019-【解析】20192019-=.选A．变式1．如图，在数轴上点A所表示的数的绝对值为（）A．1B．﹣1C．0D．2 【解析】由数轴可得：点A表示的数是﹣1．∵|﹣1|=1，∴数轴上点A所表示的数的绝对值为1．选A．变式2．已知a与1的和是一个负数，则|a|=（）A．a B．﹣a C．a或﹣a D．无法确定【解析】∵a与1的和是一个负数，∴a＜-1．∴|a|=-a．选B．变式3．在0，1-，2，3-这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A ．0B ．1-C ．2D ．3-【解析】∵|−1|＝1，|0|＝0，|2|＝2，|−3|＝3， ∴这四个数中，绝对值最小的数是0；选A ．命题角度六 化简绝对值例题6．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|c ﹣a |﹣|a +b |的值等于（ ）A ．c +bB ．b ﹣cC ．c ﹣2a +bD ．c ﹣2a ﹣b【解析】由数轴可知，b ＜a ＜0＜c ，∴c -a ＞0，a +b ＜0， 则|c -a |-|a +b |=c -a +a +b =c +b ，选A ．变式1．当1<a <2时，代数式|a －2|＋|1－a |的值是（ ） A ．－1B ．1C ．3D ．－3【解析】当1＜a ＜2时，|a ﹣2|+|1﹣a |=2﹣a +a ﹣1=1．选B ．变式2．已知5,2a b ==，且||a b b a -=-，则a +b 的值为( ) A ．3或7B ．-3或-7C ．-3D ．-7【解析】由|a -b |=b -a ，知b >a ，又由|a |=5，|b |=2，知a =-5，b =2或-2，当a =-5，b =2时，a +b =-3，当a =-5，b =-2时，a +b =-7，故a +b =-3或-7．∵|a -b |=b −a ，∴b >a ， ∵|a |=5，|b |=2，∴a =−5，b =2或−2， 当a =−5，b =2时，a +b =−3， 当a =−5，b =−2时，a +b =−7， ∴a +b =−3或−7. 选B .命题角度七 绝对值非负性的应用 例题7．已知，则a +b 的值是（ ）A ．-4B ．4C ．2D ．-2【解析】根据题意得，a ＋3＝0，b −1＝0， 解得a ＝−3，b ＝1， 所以a ＋b ＝−3＋1＝−2． 选D ．变式1．已知|1|a +与|4|b -互为相反数，则b a 的值是（ ）。