一、填空题Ⅰ1.已知11111111111111112324232009232008A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯+⨯+++⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112342009B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么B 与A 的差，B A -= .【分析】 观察到A 的最后一项和B 较相似，所以可以从后往前减：111111111111...1111...12342009200923420081111111...1;2342008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-⨯++++ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭发现这差又和A 的倒数第二项较相似，所以可以继续从后往前减，一直减到A 的第一项，则结果为1.2. 甲、乙两包糖的重量之比是21∶，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量之比变为75∶，那么两包糖重量的总和是 克. 【分析】 甲包取出糖放入乙包后两包糖重量和不变。

比例从2:1变成7:5，和分别是3和12，所以统一为12，也就是从8:4变成7:5，所以10克是1份，12份是120克。

3. 某商品按定价出售，每个可获利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价每个减价25元出售12件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价 元. 【分析】 每个减价25元也就是说每个获利润20元，12件获利润240元。

按定价的70%出售10件也获利润240元，所以每个获利润24元，比定价少21元。

这21元是定价的30%，所以定价是70元。

4. 如图1，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、f六个点，并且OAB △、ABC △、BCD △、CDE △、DEF △的面积都等于1，则DCF △的面积等于 .【分析】::2:1OCB BCD OB BD S S ∆∆==， ::4:1OED DEF OD DF S S ∆∆==所以1333,4444DCF BCD DF OD BD S S ∆∆====。

5.将正整数从1开始依次按如图2所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…….那么在第100个拐角处的数是 .【分析】观察可发现，第2n 个拐角之前有一个(1)n n ⨯+的矩形，所以第2n 个拐角处的数等于21n n ++，第100个拐角处的数为2551。

6.设101104107200910k A ⨯⨯⨯⨯=⨯，这里A ，k 都是正整数，那么k 的最大值为 .图1图2【分析】 只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多。

101到2009里面共有(2009101)31637-÷+=个数。

其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前12个中，110和125共含有4个因子5。

所以，含有5的因子个数为12525514160++++=。

7. 在1，2，3，4，5的所有排列1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中，满足条件12a a >，32a a >，34a a >，54a a >的不同排列的个数是 .【分析】24,a a 中一定有1，另一个只能是2或3。

如果24,a a 是1，2，另外三个数可以任意排列，有2612⨯=种； 如果24,a a 是1，3，则3的两侧只能放4和5，有224⨯=种。

所以，共有16种。

二、填空题Ⅱ8.某天甲、乙两人完成一件工作，计划两人都从早上700∶开始工作，他们将在上午1100∶完成；如果甲比原计划晚1小时开始工作，乙比甲再晚半小时开始，那么他们将比原计划晚1小时20分钟完成；如果乙比原计划提前半小时开始工作，甲比乙晚1小时开始，那么他们完成工作的时刻是 ∶ .【分析】 根据题意，甲晚开始1小时，乙晚开始1个半小时，结果晚完成1小时20分钟，也就是说乙10分钟的工作量等于甲20分钟的工作量，乙的工效是甲的2倍。

如果乙比原计划提前半小时，而甲相当于比原计划晚半小时，则完成工作的时刻仍然在甲乙之间靠近乙的三等分点处，也就是比原计划提前10分钟，10:50。

9. 已知正整数N 的八进制表示为812345654321N =（），那么在十进帛下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是 .【分析】288(12345654321)(111111)=。

根据n 进制的弃1n -法，8(111111)被7除余6，所以其平方被7除余1；89(11)=，显然8(111111)被8(11)整除，所以其平方也被8(11)整除。

因此两个余数之和为1。

10. 如图3，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG △与CGF △的面积之和为 . 【分析】过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，所以122AE EB EH ==，2AG GF =，122311033942AEG ABF ABCDS S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=。

同理，过E 做AF 的平行线交BC 于I ，则::1:2FI IB AE EB ==，图3所以13CF FB FI ==，CG GE =，1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=。

所以两三角形面积之和为15。

11. 如图4，在加法算式中，八个汉字“清华附中龙班大学”分别代表0到9中的某个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“清华附中”的最大值等于 .【分析】为避免显示不兼容问题，现用拼音首字母代替汉字。

原式为20091QHFZ QHLB QHDX ++=，即120097991QHFZ QHDX QHLB DX LB =--=+-。

为了使QHFZ 最大，则前两位QH 先尽量大，最大可能为80。

假设80QH =，则继续化简为9FZ DX LB =--。

9DX LB --最大为9712976--=，此时出现重复数字，需要进行调整，9612975--=，符合题意，所以最大值为8075。

12.设a ，b 是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对,a b （）共有 组.【分析】 5395042311=⨯⨯，(,)a b 所含2的幂的情况可能是(0,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5)；(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有1173231⨯⨯=种.13. 某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到 人. 【分析】设原人数为abc ，则有180abc bac -=，即2a b -=。

从大到小尝试，9703626...34÷=，所以所求答案为972。

14. 设A 、E 为正八边形ABCDEFGH 的相对顶点，顶点A 处有一只青蛙，除顶点E 外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任一个，落到顶点E 时青图4蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A 出发恰好跳10次后落到E 的方法总数为 种.【分析】14. 可以使用递推法。

回到A 跳到B 或H 跳到C 或G 跳到D 或F 停在E1步 1 2步 2 1 3步 3 1 4步 6 4 2 5步 10 4 6步 20 14 8 7步 34 14 8步 68 48289步 11648所以，10步跳到E 有96种方法。

三、解答题(请写出详细解题过程)：15.某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知每生产一件A 产品需甲原料9千克和乙原料3千克；每生产一件B 产品需甲原料4千克和乙原料10千克.现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产A 、B 两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案.【分析】 设生产A 产品x 件，则生产B 产品(50)x -件。

需要甲原料94(50)2005x x x +-=+千克，需要乙原料310(50)5007x x x +-=-千克。

为避免原料不够用，则20053605007290x x +≤⎧⎨-≤⎩，解得3032x ≤≤。

16.如图5，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.【分析】共有12种可能的扇形，每个数恰好被4个扇形覆盖。

这12个扇形分为4组，同一组的3个扇形恰好盖住整个表盘。

所以，如果去掉3个，则一定还有一组是完整的，这组的3个扇形覆盖整个表盘。

另一方面，如果从12个扇形中去掉4个扇形，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被盖住。

17. 对四位数abcd ，若存在质数p 和正整数k ，使k a b c d p ⨯⨯⨯=，且5p a b c d p +++=-，求这样的四位数的最小值，并说明理由.图5【分析】17. 因为2250-<，33522-=，555-太大，所以3p =。

因为abcd 是3的幂，所以四个数字中不能包含3以外的质因子，也就是说只能含有1，3，9。

观察可知恰好有139922+++=，所以最小的这样的四位数是1399。