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上海市高中数学知识点总结概要

高中数学知识点总结1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg的取值范围。

()(∵,∴·∵,∴·,,)335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨义域是_____________。

[](答:,)a a -11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?()如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t =+≥10∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2121(取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?[](,,则(外层)(内层)y f u u x y f x ===()()()ϕϕ[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数,否则为减函数。

)f x f x ϕϕ()()()如:求的单调区间y x x =-+log 1222(设,由则u x x u x =-+><<22002 ()且,,如图:log 12211u u x ↓=--+由已知在,上为增函数,则,即f x aa ()[)1313+∞≤≤ ∴a 的最大值为3)16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-⇔⇔ 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=⇔⇔ 注意如下结论:求,x x 4101+∈⎩⎪⎪ 17. 你熟悉周期函数的定义吗?()(若存在实数(),在定义域内总有,则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()() 函数,T 是一个周期。

)()如:若,则f x a f x+=-()(答:是周期函数,为的一个周期)f x T a f x()()=2()又如:若图象有两条对称轴,f x x a x b()==⇔即,f a x f a x f b x f b x()()()()+=-+=-则是周期函数,为一个周期f x a b()2-如:18. 你掌握常用的图象变换了吗?f x f x y()()与的图象关于轴对称-f x f x x()()与的图象关于轴对称-f x f x()()与的图象关于原点对称--f x f x y x()()与的图象关于直线对称-=1f x f a x x a()()与的图象关于直线对称2-=f x f a x a()()()与的图象关于点,对称--20将图象左移个单位右移个单位y f x a aa ay f x ay f x a =>−→−−−−−−−−>=+=-()()()()()上移个单位下移个单位b bb by f x a by f x a b()()()()>−→−−−−−−−−>=++=+-注意如下“翻折”变换:f x f x f x f x ()()()(||)−→−−→−()如:f x x ()log =+21()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211顶点坐标为,,对称轴--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-b aac b a x ba 24422开口方向:,向上,函数a y ac b a>=-0442mina y ac ba<=-442,向下,max应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程ax22由图象记性质!(注意底数的限定!)对数换底公式:loglogloglog logaccanabbabnmbm=⇒=21. 如何解抽象函数问题?(赋值法、结构变换法)如:(),满足,证明为奇函数。

1x R f x f x y f x f y f x∈+=+()()()()()(先令再令,……)x y f y x ==⇒==-000()(),满足,证明是偶函数。

2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()() [](先令·x y t f t t f t t ==-⇒--=()()() ∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+(·,··)扇l l ===ααR S R R 2122O R1弧度 R 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义 sin cos tan ααα===MP OM AT ,,yTA xα B SO M P如:若,则,,的大小顺序是-<<πθθθθ80sin cos tan又如:求函数的定义域和值域。

y x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪122cos π(∵)122120--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-≥cos sin πx x ∴,如图:sin x ≤22()∴,25424012k x k k Z yππππ-≤≤+∈≤≤+25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?sin cosx x≤≤11,yxO-π2π2πy tgx=对称点为,,k k Zπ2⎛⎝⎫⎭⎪∈()y x k k k Z=-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈sin的增区间为,2222ππππ()减区间为,22232k k k Zππππ++⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈()()图象的对称点为,,对称轴为k x k k Zπππ2=+∈[]()y x k k k Z=+∈cos的增区间为,22πππ[]()减区间为,222k k k Zππππ++∈()图象的对称点为,,对称轴为k x k k Zπππ+⎛⎝⎫⎭⎪=∈2y x k k k Z=-+⎛⎝⎫⎭⎪∈tan的增区间为,ππππ22()()[]26. y=Asin x+正弦型函数的图象和性质要熟记。

或ωϕωϕy A x=+cos()振幅,周期12||||A T=πω()若,则为对称轴。

f x A x x00=±=()()若,则,为对称点,反之也对。

f x x0000=()五点作图:令依次为,,,,,求出与,依点202322ωϕππππx x y+(x,y)作图象。

()根据图象求解析式。

(求、、值)3Aωϕ如图列出ωϕωϕπ()()xx122+=+=⎧⎨⎪⎩⎪解条件组求、值ωϕ()∆正切型函数,y A x T=+=tan||ωϕπω27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

如:,,,求值。

cos x x x+⎛⎝⎫⎭⎪=-∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥πππ62232(∵,∴,∴,∴)ππππππππ<<<+<+==x x x x 3276653654131228. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?如:函数的值域是y x x =+sin sin||=− 如:··142222=+=-===sin cos sec tan tan cot cos sec tan ααααααααπ===sincos π20……称为的代换。

1 “·”化为的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”,k παα2±“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。

()如:cos tan sin 947621πππ+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+=又如:函数,则的值为y y =++sin tan cos cot ααααA. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。

) 具体方法:()()角的变换:如, (12)22βαβααβαβαβ=+-+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

()()如:已知,,求的值。

sin cos cos tan tan ααααββα121232-=-=--()求角;1C()若,求的值。

2222222a b c A B =+-cos cos()(()由已知式得:112112-++-=cos cos A B C又,∴A B C C C +=-+-=π2102cos cos ∴或(舍)cos cos C C ==-121又,∴03<<=C C ππ()由正弦定理及得:212222a b c =+()(),或60||||x a a a x a x a x a x a <>⇔-<<>⇔<-> 如:若,则下列结论不正确的是()110ab<<A a bB ab b ..222<<C a b a bD a b ba.||||||.+>++>2 答案:C35. 利用均值不等式:a b ab a b R a b ab ab a b 22222+≥∈+≥≤+⎛ ⎫⎭⎪+,;;求最值时,你是否注 又如:,则的最小值为x y x y +=+2124(∵,∴最小值为)22222222221x y x y +≥=+36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)并注意简单放缩法的应用。

如:证明…1121312222++++<n()(…………112131111212311222++++<+⨯+⨯++-n n n=+-+-++--=-<11121213111212……)n nn()370.()()解分式不等式的一般步骤是什么?f xg xa a>≠(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。

)38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始()()()如:x x x+--<11202339. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如:对数或指数的底分或讨论a a><<10140. 对含有两个绝对值的不等式如何去解?(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。

)例如:解不等式||x x--+<311(解集为)x x|>⎧⎨⎩⎫⎬⎭1241.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题a b a b a b-≤±≤+如:设,实数满足f x x x a x a ()||=-+-<2131 求证:f x f a a ()()(||)-<+21证明:|()()||()()|f x f a x x a a -=-+--+221313=-+--<|()()|(||)x a x a x a 11 () 定义:为常数,a a d d a a n d n nn +-==+-111()等差中项:,,成等差数列x A y A x y ⇔=+2 ()()前项和n S a a n nan n d nn =+=+-11212{}性质:是等差数列a n()若,则;1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}()数列,,仍为等差数列;2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ,,……仍为等差数列;232-- ()若三个数成等差数列,可设为,,;3a d a a d -+0 ∴=n 27)44. 等比数列的定义与性质 定义:(为常数,),a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项:、、成等比数列,或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和:(要注意)n S na q a qq q n n==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()! {}性质:是等比数列a n()若,则··1m n p q a a a a m n p q +=+= S n n n n n +++111{}又,∴是等比数列,S S S n n n 144==n a S S nn n n ≥=-==--23411时,……·(2)叠乘法{}例如:数列中,,,求a a a a nn a n n nn 1131==++ 解:a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……,∴-=-= 又,∴a a nn133==∴是首项为,为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c d c nn =+-⎛⎝ ⎫⎭⎪---1111[练习]{}数列满足,,求a a a a a n n nn 11934=+=+n -1a a n k k k 11+= 解:()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪≠ ∴11111111a a d a a k k k nkk k n+=+=∑∑=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭⎪++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……[练习]S a a a a n n n =++++⎭⎪-121…… ()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… [练习]已知,则f x x xf f f f f f f ()()()()()=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=2211212313414(由f x f x x x x x x x x ()+⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+++=1111111112222222 ∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥f f f f f f f ()()()()1212313414p ——贷款数,r ——利率,n ——还款期数49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

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