2021届江苏省南京市宁海中学高二第一学期数学期末考试试题 2021.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若251=+a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．112．命题“()∞+∈∃，00x ，1ln 00-=x x ”的否定是 A ．()∞+∈∀，0x ，1ln -≠x x B ．()∞+∉∀，0x ，1ln -=x x C ．()∞+∈∃，00x ，1ln 00-≠x x D ．()∞+∉∃，00x ，1ln 00-=x x 3．若b a >，则A ．()0ln >-b aB ．ba33< C ．033>-b a D ．b a >4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是：有两只老鼠从墙的两边分别 打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢A ．5B ．6C ．7D ．8 5．已知00>>y x ，，且19=+y x ，则yx 11+的最小值是 A ．10 B ．12 C ．14 D ．166．如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则→OG 等于A ．→→→++OC OB OA 313131 B ．→→→++OC OB OA 413121C ．→→→++OC OB OA 414121D ．→→→++OC OB OA 6141417．意大利数学家斐波那契（1770~1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞 燕草，万寿简等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也 有着广泛得应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11=a ，12=a ，n n n a a a +=++12，若k a a a a a a a =++++++5997532 ，则k =A ．2020B ．2021C ．59D ．608．已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by a x ，的左、右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为x y 31±=，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：()1622=++y x 上一点，则2MF MN +的最小值为A ．8B ．9C ．10D ．11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个 行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是A.在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生 产总值基本持平B.若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元C.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元D.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元10．下面是关于公差0>d 的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有A ．数列{}n a 递增B ．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+c n S n 为等差数列，则0=c D ．若07=a ，则方程0=n S 有唯一的根13=n 11．设a >0， b >0，称2b a +为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，ba ab+2为a ，b 的调和平均数，称222b a +为a ，b 的加权平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且|AC|=a ，|CB|=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ， AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．取弧AB 的中点为F ，连接FC ，则在图中能体现出的不等式有A ．ab b a ≥+2B ．2222b a b a +≥+ C ．ab b a ab ≥+2 D ．ba ab b a +≥+2222 12．笛卡尔、牛顿都研究过方程()()()xy x x x =---321，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有A ．该曲线不关于y 轴对称B ．该曲线关于原点对称C ．该曲线不经过第三象限D ．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数x 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 13．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则=⋅2s x ▲ ．14．已知向量()312，，-=a ，()x b ，，24-= ，()21，，x c -=，若()c b a ⊥+，则=x ▲ ．15．已知正项等比数列{}n a ，21=q ，若存在两项m a ，n a ，使得21a a a n m =，则m n-9的最小值为 ▲ ．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC 、CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内一点（含边界），若A 1P ∥平面AEF ，点P 的轨迹长度为 ▲ ．直线A 1P 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围是 ▲ ．(第一空2分，第二空3分)．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知A ＝{x |211-+x ＜0}，B ＝{x |x 2－2x+1－m 2＜0，m>0}． （1）若m ＝2，求A ∩B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且有AB =1，2=AP ，︒=∠120BAD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AC ⊥面BED ；（2）求二面角C AB E --的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）2020年9月份，南京出台了<南京市生活垃圾管理条例>，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量， 为此需征集一部分垃圾分类志愿者．已知某垃圾站的日垃圾分拣量(千克)与垃圾分类志愿者人数x (人)满足线性回归直线方程a bx y+=ˆ，数据统计如下： 志愿者人数x （人） 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y （千克）25304045t(1) 已知405151==∑=i i y y ，9051=∑=i i x ，88551=∑=i i i y x ，根据所给数据求t 和线性回归直线方程a bx y+=ˆ． (2)用(1)中所求的线性回归方程得到与i x 对应的口垃圾分拣量的估计值i y ˆ．当分拣数据i y 与 估计值i yˆ满足i i y y -ˆ≤2时，则将分拣数据(i x ，i y )称为一个“正常数据”．现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率．参考公式：()()()∑∑==---=ni ini iix x yyx x b121ˆ，x b y aˆˆ-=．20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：px y 22=的焦点坐标为F ，焦点到准线的距离与抛物线通经长度的和为29，过点P （1，0）的直线l 交C 于A ，B 两点． （1）求抛物线的方程；（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线l 的方程．条件：①3134=AB ②→→=PB AP 3③2=∆AOB S （若多做，则默认第一种选择作为答案）21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，()*112N n a n n a n n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设nnn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n n S S -2的最小值．22．（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程为12422=+y x ，过点⎪⎭⎫⎝⎛032，Q 作直线与椭圆交于A ，B 两点． （1）求证：PA ⊥PB ； （2）求|PA |·|PB|的最大值．。