数学分析1 期末考试试卷（B 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设0111,1n nx x x +==+， 则 lim n n x →∞= 。
2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0lim ()x xf x →存在的充要条件是：3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。
4、当x = 时，函数()2x f x x =取得极小值。
5、已知)(x f 的一个原函数是cos xx，则()xf x dx '=⎰。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ）。
（A ）()f x x 与是等价无穷小。
（B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。
（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。
（D ）()f x x 为的低阶无穷小量。
2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ ）。
（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且（C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且 3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()lim1x af x x a→'=--，则（ ）。
（A ）x a =是)(x f 的极小值。
（B ）x a =是)(x f 的极大值。
（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。
（D ）x a =不是)(x f 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。
5、下述命题正确的是（ ）（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续； （B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0lim()()0x xf xg x →=； （C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f xg x <，并设lim (),x x f x a -→=lim (),x x g x b -→=，则必有a b <；（D ）设lim (),lim ()x x x x f x a g x b--→→==，a b <，则存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。
三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1、 11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭求2、0x x →求3、给定p 个正数()11212,,,,lim .n n n n p pn a a a a a a→∞+++求4、设sin (0)sin a x b y a b a b x +⎛⎫=>> ⎪+⎝⎭其中，求y '。
5、求不定积分⎰6、求不定积分dx x xx ⎰3cos sin 。
四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）1、试用εδ-语言证明极限22lim4x x →=；2、证明方程0(n x px q n p q ++=为正整数，、为实数），当n 为奇数时最多有三个实根。
3、试用拉格朗日中值定理证明：当0x ≥时 1101ln(1)x x<-<+ 。
五、（本题8分）设()(,)f x -∞+∞在上二阶导数连续，(0)0f =()0()0f x xg x xax ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（1） 确定,()a g x ∞∞使在(-,+)上连续；（2） 证明对以上确定的,()a g x ∞∞在(-,+)上有连续的一阶导函数。
六、（本题4分）设()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=存在，证明()f x 在[,)a +∞上有界。
答案一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分）1、设0111,1n nx x x +==+， 则 lim n n x →∞=12。
2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0lim ()x xf x →存在的充要条件是：对任何含于00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n f x →∞都存在且相等。
3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy。
4、当x = 1ln 2-时，函数()2x f x x =取得极小值。
5、已知)(x f 的一个原函数是cos x x，则()xf x dx '=⎰cos sin 2xx C x--+ 。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ B ）。
（A ）()f x x 与是等价无穷小。
（B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。
（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。
（D ）()f x x 为的低阶无穷小量。
2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ C ）。
（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且 （C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（C ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()lim1x af x x a→'=--，则（ B ）。
（A ）x a =是)(x f 的极小值。
（B ）x a =是)(x f 的极大值。
（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。
（D ）x a =不是)(x f 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。
5、下述命题正确的是（ D ）（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续；（B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0lim()()0x xf xg x →=； （C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f xg x <，并设lim (),x x f x a -→=lim (),x x g x b -→=，则必有a b <；（D ）设lim (),lim ()x x x x f x a g x b--→→==，a b <，则存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。
三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1、解： 011sin 1sin ln()limln()1cos 1cos 1cos 00sin lim lim x xxxx xx xx x x eex →---→→⎛⎫== ⎪⎝⎭（2分）220001sin cos sin cos sin cos 1limln()lim lim 1cos sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x →→→---===-- （4分）111cos 3sin lim xx x ex --→⎛⎫∴= ⎪⎝⎭（5分） 2、解：000lim(sin )1x x x x x e x →→→==+= （5分）3、给定p 个正数()11212,,,,lim .n n n n p pna a a a a a→∞+++求解：设{}121max ,,,j p j pa a a a ≤≤=，则由迫敛性可知：()()111112()n n n n n n nn n j jpjja a a a apa p a =≤++≤=（4分）∴(){}112121lim max ,,.n n n n pp n j paa aa a a →∞≤≤+++= （5分）4、设sin (0)sina xb y a b a b x +⎛⎫=>> ⎪+⎝⎭其中，求y '。
cos (5sin cos yxa b x x'==+解：分）5、求不定积分⎰ ()()22222222(1)8,,(2114ln(1)12arctan(5t tt x dx dt t t t dt t t C +-===--∴==+--+⎰⎰解：令则有分）分）6、求不定积分dx x xx ⎰3cos sin 。
222332sin (cos )cos 1()(sec sec )cos cos 221(sec tan )(52x x xd x x dx xd x x xdx x x x x x C --===-=-+⎰⎰⎰⎰解：分）四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）1、试用εδ-语言证明极限22lim4x x →=； 22222422,214225230,min 1,,254,lim 4x x x x x x x x x x x x εεδδε→-=+--≤-=+-≤-⎧⎫∀>=-<⎨⎬⎩⎭-<=证明：考察不妨设，则（分）所以，取当0<时，则有所以。
（6分）2、证明方程0(n x px q n p q ++=为正整数，、为实数），当n 为奇数时最多有三个实根。