薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程中应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
Section 9. 1 Introduction and Assumption § 9.1 有关概念与计算假设
工程构件中板的形式多样 根据几何形状和变形分类：
板——中面为平面 壳——曲面 小挠度的弯曲薄板 薄板——宽度与厚度的比值在15以上。
荷载（Loads）
• Longitudinal load in the middle plane and Transverse load 当薄板受一般荷载时，总是可以把每个荷载分解 为两个荷载. 纵向荷载：平行于中面的荷载； 横向荷载：垂直中面的荷载。
Loads（荷载）
1. Longitudinal load in the middle plane（纵向荷载）--All the external forces are parallel to the faces of the plate and distributed uniformly over the thickness.--------plane stress problem. • 纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而 他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题 进行计算，如第二章至第六章所述。 2.Transverse load（横向荷载） ----They are perpendicular to the middle plane---plate bending problem. 横向荷载：将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变 和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。
薄板假设2：应力分量 xz , yz和 z 远远小于其余三个应 力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计 注意：这3个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不 能不计。
xz 0,
u w 0, z x
u w z x
yz 0
v w 0 z y
Chapter 12 Bending of Thin Plates. Classical Solutions
第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。 学习指导
1. 杆件受到纵向（平行于杆轴）荷载的作用—— 杆件的拉压问题；杆件受到横向（垂直于杆轴）荷载 的作用——梁的弯曲问题。
与此相似，薄板受到纵向（平行于板面）荷载的作 用——平面应力问题；薄板受到横向（垂直于板面） 荷载的作用——薄板的弯曲问题。 薄板的弯曲，可以认为是梁的弯曲的推广，是双向 弯曲问题。但不能将薄板的弯曲看成是纵、横梁弯曲 的叠加。
EIw M x
d 2 M x qx 2 dx
D4 w q
• Deflection（挠度）--the displacement of a point on the middle
plane in the direction of z, w(x,y,0), is called the deflection of the point .
9.2 Differential Equation for Bending of Thin Plates
9.2
基本未知函数:
弹性曲面的微分方程
w(x,y)
小挠度薄板位移解法
w u z, x
w v z y
位移与应变：
u 2w x 2 z x x v 2w y 2 z y y
§ 9.1 有关概念与计算假设
A plate is a body bounded by two closely spaced parallel planes and one or more prismatical surfaces normal to the planes. 板：两个平行面和垂直这两个平面的拄面或棱柱面所围 成的物体，称为平板，或简称板。
挠度：中面内各点在垂直于中面方向上的位移。 Small deflections（小挠度）--the deflection is much smaller
than the thickness. W(x,y,0)<δ/5
Only small deflections are considered here.
• Plate faces（板面）——two closely spaced parallel planes • 板面：这两个平行面称为板面。 • Plate edges（板边）——prismatical surfaces normal to the plate faces. 侧面或板边：这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。
NOTES: 与材料力学相似。
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第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。
学习指导
3. 薄板弯曲问题属于空间问题。薄板弯曲理论，是从空 间问题的基本方程和边界条件出发，应用薄板的三个计算假 定进行简化，并按位移法导出薄板弯曲问题的基本方程和边 界条件。 最后归结的基本位置函数（挠度w(x,y)）和相应的方程、 边界条件。薄板问题也属于二维问题。 4. 对于矩形薄板，基本的解法是纳维法和莱维法。
• 根据空间问题的基本方程和边界条件，以及上述的三个计算假设， x，主要 , y , xy 将其他未知数——纵向位移u和v，主要应变分量 x ,，次要应力分量 y , xy xz , yz 应力分量 及更次要应力分 量 z ，分别都用挠度w(x,y) 来表示，并导出求解挠度的方程。
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第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。
学习指导
2. 与平面问题和空间问题不同的是，除了前述的 弹性力学的五个基本假定之外，在薄板的弯曲问题中， 根据内力和变形的特征，又提出了三个计算假定，用 以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯 曲理论。
9.2 Differential Equation for Bending of Thin Plates 9.2
弹性曲面的微分方程
• Basic unknown function w(x,y)
• 薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度w(x,y)作为基 本未知数。
• Fifteen equations for spatial problems------one equation in term of for plate bending problem.
x
y
z
薄板的小挠度弯曲理论
• 小挠度弯曲理论：只讨论这样的薄板，它虽然 很薄，但仍然具有相当的弯曲刚度，因而它的 挠度远小于它的厚度 因此，位移和形变是微小的基本假设仍然 符合。 • 大挠度弯曲理论：如果薄板的弯曲刚度较小， 以致挠度于厚度属于同阶大小，则须另行建立 所谓大挠度弯曲理论。 薄模：如果薄板的弯曲刚度很小，以致挠度远 大于厚度，则薄板称为薄模。
薄板小挠度问题中的物理方程与薄板平面应力问题的 物理方程相同（但两种问题中应力和形变分量沿厚度方 向的分布是不同的）。
1 ( x y ) E 1 y ( y x ) E 2(1 ) xy xy E
x
薄板假设3：薄板中面内的各点都没有平行中面的位移，即：
5. 对于圆板问题，类似于极坐标中的平面问题，可以建 立相应的圆板弯曲问题的方程。对于轴对称圆板的弯曲问题， 其通解已经解出。
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第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。
§9.1 有关概念和基本假定 §9.2 弹性曲面的微分方程 §9.3 薄板横截面上的内力 §9.4 边界条件 扭矩的等效剪力 §9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解 §9.6 矩形薄板的单三角级数解 §9.7 矩形薄板的差分解（*） §9.8 圆形薄板的弯曲
• Thin plate（薄板）-- δ<<a δ <<b δ<min(a,b)/15 • Thick plate（厚板） • 薄板和厚板：如果板的厚度远远小于中面的最 小尺寸，这个板就称为薄板，否则，就称为厚 板。
• Coordinate system（坐标系）-x and y are in the middle plane and z axis is perpendicular to the middle plane . The system is a right hand system.
薄板弹性曲面：当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面。
Basic Assumptions 基本假设
• Assumption stated in Sec.1.3 1. The body is continuous, perfectly elastic, homogeneous and isotropic. 连续的、完全弹性的、均匀的和各向同性的。 2.The displacements and strains are small. 位移和形变都是微小的。 The deflection of the plate is small. 薄板的挠度也是微小的。 • Thin plates
v w z y
思考： 梁弯曲 时中性轴的 概念？
由于 xz＝0, yz＝0和 z＝0，可见中面的法线在薄 板弯曲时 保持不伸缩，并且称为 弹性曲面的法线。
薄板假设2：应力分量 xz , yz和 z 远远小于其余三个应 力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。 注意：这3个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不 能不计。
xy
u v 2w 2 z y x xy
9.2 Differential Equation for Bending of Thin Plates
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