课程设计题目三阶系统的综合分析与设计学院自动化学院专业自动化专业班级自动化0903姓名指导教师2011 年12 月31 日课程设计任务书学生姓名： 专业班级：指导教师： 张立炎 工作单位： 武汉理工大学 题 目: 三阶系统综合分析与设计初始条件：某单位反馈系统结构图如图1所示：)图1 图2要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 试绘制随根轨迹2、 当-8为闭环系统的一个极点时，K=?3、 求取主导极点阻尼比为0.7时的K 值（以下K 取这个值）4、 分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为25.2)(1)(t t t t r ++=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差5、 用Matlab 绘制单位阶跃相应曲线6、 绘制Bode 图和Nyquist 曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、 如在比较点与开环传递函数之间加1个非线性环节，如图2所示，其中2,10==k e ，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性 8、 认真撰写课程设计报告。
目录引言 (1)1 设计内容 (2)1.1 设计题目 (2)1.2 设计任务 (2)2 方案设计 (3)2.1绘制根轨迹 (3)2.1.1 绘制很轨迹步骤 (3)2.1.2 MATLAB绘制根轨迹 (4)2.2 K值的求取 (5)2.2.1 极点-8时的K值 (5)2.2.2 主导极点阻尼比为0.7时的K值 (6)2.3稳态误差 (6)2.4单位阶跃响应曲线 (7)2.5 BODE图和Nyquist曲线 (8)2.5.1绘制BODE图 (8)2.5.2绘制Nyquist曲线 (10)2.6 负倒描述函数和Nyquis曲线判断稳定性 (11)3 结果分析 (13)3.1 理论绘制根轨迹 (13)3.2理论分析单位阶跃响应 (15)3.3理论分析BODE图和Nyquist曲线 (16)3.3.1分析BODE图 (16)3.3.2分析Nyquist曲线 (18)4 体会和总结 (20)参考文献 (21)引言在控制工程中，三阶系统非常普遍，但是三阶系统属于高阶系统,其动态性能指标的确定是比较复杂，不能像二阶系统那样可以用特定的公式计算。
因此，我们可以借助于MATLAB软件对高阶系统进行分析。
在课程设计中，我们不仅要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和和系统响应曲线，还要掌握BODE图和Nyquist曲线的绘制。
以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节后用负倒描述函数和Nyquist曲线判断系统的稳定性。
1 设计内容1.1 设计题目三阶系统的综合分析和设计初始条件：某单位反馈系统结构图如图1-1所示：图1-1 图1-21.2 设计任务要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、试绘制随根轨迹2、当-8为闭环系统的一个极点时，K=?3、求取主导极点阻尼比为0.7时的K 值（以下K 取这个值）4、分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为25.2)(1)(t t t t r ++=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差5、用Matlab 绘制单位阶跃相应曲线6、绘制Bode 图和Nyquist 曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、如在比较点与开环传递函数之间加1个死区非线性环节，如图1-2所示，其中2,10==k e ，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性8、认真撰写课程设计报告。
2 方案设计2.1绘制根轨迹2.1.1 绘制很轨迹步骤（1）根轨迹的起点和终点。
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
开环极点分别为0、-3、-6，无开环零点。
（2）根轨迹的分支数。
n=3，m=0，所以分支数为3 。
且它们是连续的并且对称于实轴。
（3）根轨迹的渐进线。
则可得出与实轴的交点为a 03633σ--==-， 因此与实轴的交点为（-3,0）,与实轴的交角为 (4)根轨迹在实轴上的分布。
实轴上的某一个区域，若其右边开环零、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
因此实轴上[-∞，-6] [-3,0]必为根轨迹。
(5)确定根轨迹的分离点。
分离点的方程为:111036d d d ++=++，因此可以求得分离点d=-1.3,d=-4.7（不合题意，舍去） (6)根轨迹与虚轴的交点。
由开环传递函数写出系统的闭环特征方程为D （s ）=32s 918s s K +++,根据此特征方程列出劳斯表。
a (21)5(0,1,2)333k k πππϑπ+===，，表1 求根轨迹与虚轴交点的劳斯表令（162-K ）/7=0,可以得出K=162，根据2s 行的项列方程为92s +K=0，，把K=162代入此方程得2.1.2 MATLAB 绘制根轨迹绘制轨迹利用的函数是rlocus 函数.MATLAB 为绘制根轨迹编程如下： num=[1];den=[1 9 18 0]; syms=tf(num,den); rlocus(syms)绘制出的根轨迹如图2-1所示：4.204.2j 0 4.2j ω=±-，所以与虚轴的交点为（，），（，）。
图2-1 闭环根轨迹2.2 K值的求取2.2.1 极点-8时的K值闭环系统的特征方程为：329180+++=s s s K令()G s=0，将闭环极点s=-8代入方程式中，从而可以得到k=80.所以当-8为闭环系统的一个极点时，k等于80。
2.2.2 主导极点阻尼比为0.7时的K 值特征方程329180s s s K +++=主导极点阻尼比ζ=0.7，所以主导极点可以记为1n s ωζω=-+和2n s ωζω=--。
将1s 代入特征方程中，得：322232(34)9(21)18(418180n n n n n K j ωζζωζωζωζωωζω-+--++=分别令实部和虚部为零得到两个方程：3222(34)9(21)180n n n K ωζζωζωζ-+--+=32(418180n n j ωζωωζω=。
解得 1.6n ω= 17.6k = 11n ω= 808.6k =-（舍） 所以取17.6k =。
所以，开环传递函数为17.6()(3)(6)G s s s s =++2.3稳态误差根据2.1.2中求出的K 值可以得出该系统的开环传递函数为：17.6()(3)(6)G s s s s =++静态位置误差系数Kp =0lim ()s G s →→∞ 静态速度误差系数Kv =0lim ()s sG s →=017.6lim(3)(6)s s s →++=0.977静态加速度误差系数Ka =0lim ()s G s →=017.6lim(3)(6)s ss s →++=0因此，当输入信号为25.2)(1)(t t t t r ++=时，稳态误差的求法如下：首先将输入信号()r t 分解为三个信号的叠加：1()1()r t t =, 2() 2.5r t t =,23()r t t =123()()()()r t r t r t r t =++。
输入信号R(t)的稳态误差就是信号1()r t 、2()r t 、3()r t 的稳态误差的加和。
输入信号为1()1()r t t =时，稳态误差1()01e ss Kp==+输入信号为2() 2.5r t t =，时，稳态误差 2.5() 2.5e ss Kv== 输入信号为23()r t t =时，稳态误差2()e ss Ka=→∞所以输入信号()r t 的稳态误差为()e ss →∞。
2.4单位阶跃响应曲线绘制单位阶跃响应利用的函数是step 函数。
MATLAB 绘制单位阶跃响应曲线编程如下： num=[17.6]; den=[1 9 18 17.6]; syms=tf(num,den); step(tf(num,den))绘制出的单位阶跃响应曲线如图2-2所示：图2-2 单位阶跃响应曲线由图中可以看到单位阶跃响应最终趋向于1，所以稳态误差为0，所以该系统是稳定的。
2.5 BODE图和Nyquist曲线2.5.1绘制BODE图可以利用函数Bode和margin,但是margin函数可以直接读出相角裕度和幅值裕度，所以下面用margin函数绘制BODE图MATLAB绘制BODE图编程如下：num=[17.6];den=[1 9 18 0];syms=tf(num,den);margin(num,den)绘制出的BODE图如图2-3所示：图2-3 BODE图编程时用的margin函数可以求出幅值裕度和相角裕度以及绘制出BODE图，从图中可以看出：ω=4.24rad/sec。
幅值裕度h=19.3dB,穿越频率xω=0.932rad/sec。
相角裕度r=64.1deg，截止频率c从幅值裕度和相角裕度可以看出这是一个稳定的系统。
2.5.2绘制Nyquist曲线绘制Nyquist曲线利用的函数是nyquistMATLAB绘制Nyquist曲线编程如下：num=[17.6];den=[1 9 18 0];syms=tf(num,den);nyquist(syms)绘制出的Nyquist曲线如图2-4所示：图2-4 Nyquist曲线开环传递函数为17.6()(3)(6)G ss s s=++，这是一个Ⅰ型系统，所以开环幅相曲线的起点为-90°的无穷远处，即图2-4下半平面的图形为ω从0→∞时的开环幅相曲线。
由于幅频特性为ω的偶函数，相频特性为ω奇函数，则ω从0→∞和0→-∞的幅相曲线关于实轴对称，所以，图中上半平面的曲线图为ω从0→-∞的开环幅相曲线。
因为17.6()(3)(6)G s s s s =++，222222249.917.13(10)()(10)49[(10)49]jG j ωωωωωωω-=---+-+，令实部P=22249.91(10)49ωω--+，虚部Q=22227.13(10)[(10)49]jωωωω---+，令Q=0，得到3.16/rad s ω==，此时，P=-0.1。
说明开环幅相曲线经过负实轴，最终回到零， 0< 3.16/rad s ω<时，Q>0,但是由于Q 值很小,所以看起来几乎是和实轴重合的,但实际上是Q>0的。
所以说实际上ω从0--∞→和0+→∞两部分的曲线是相交的，也跟实轴相交，即：图2-4中的两曲线是相交的。
2.6 负倒描述函数和Nyquis 曲线判断稳定性系统中加的是非线性类型为有死区的继电特型。
有死区的继电特型的描述函数求法如下：(),0y x M x =-< (),0y x M x => sin x A t ω=2001()02A y t d t πωπ==⎰221001()cos cos cos 0M A y t td t td t td t ππππωωωωωωππ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰221001()sin sin sin M B y t td t td t td t ππππωωωωωωππ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰11()B A j N A A +==0A e >） 为1()N A -=2 将M =2代入上式得1()N A -=2 当A →∞时1()N A -→-∞ 当A 近似为A 时，1()N A -→-∞ 所以描述函数的起点和终点都是-∞，从负倒描述函数的表达式可以看出图形中只有部分，虚轴为零，即: 负倒描述函数的图形在实轴上。