d2 = 2d1 d0 = d1/2
d3= d1/2 d4= d2/2 = d1 建立上述关系后，只要改变 d1 的值，d0、d2、d3、d4 的值会按照上述关系自动变化，而 无需人为输入。根据尺寸值的确定方式，尺寸可分为驱动尺寸(driving dimension)和被动尺寸 (driven dimension)两类。在图 3-14 中，d1 为驱动尺寸，d0、d2、d3、d4 均为被动尺寸。在编 辑草图时，只能修改驱动尺寸的值，被动尺寸的值不能被修改。
二、草图的约束类型 草图上存在两类约束：尺寸约束和几何约束。 1. 尺寸约束 尺寸约束是对图形几何元素大小、位置和方向的定量限制，它和通常上标注的尺寸意义 是一致的，包括线性尺寸、径向尺寸和角度尺寸三种形式。 在草图的尺寸中，可以建立尺寸之间、尺寸与某些变量之间的函数关系(relation)，以使 尺寸值保持某种关联和随动。如图 3-14 所示，若要求矩形长度始终是高度的两倍，圆的直 径为矩形高度的一半，且圆心始终位于矩形中心，则可建立以下关系：
线性尺寸
径向尺寸
角度尺寸
图3-3 尺寸约束的类型
二、几何约束 几何约束（Geometric constraint）表示几何元素拓扑和结构上的关系，是对图形几何元 素方位、相对位置关系和大小关系的限制，如一条直线水平、直线相互平行、直线与圆弧相 切等。这样的约束是确定它们的结构关系，而这种结构关系在未来的设计中（图形的尺寸驱 动过程中）是保持不变的。 几何约束也被称作几何关系。常见的几何关系包括：水平、竖直、共线、垂直、平行、 相切、同心、中点、交叉点、重合、对称、固定等。 尺寸约束和几何约束都是对图形的限制，以使图形形状和大小满足设计要求。有时， 两者的作用可以相互替代，虽然对图形的约束效果相同，但可编辑性、施加约束的难易程度 可能不一样，因此合理的约束形式会给设计带来很多方便。 例如图 3-4 所示的倒圆矩形，若要求四个倒圆的半径相同，可以施加 4 个尺寸约束 R1、 R2、 R3、R4，并令 4 个尺寸具有相同的尺寸值，但如果要求修改半径，则需修改 4 个尺寸 的尺寸值。也可以施加 1 个尺寸约束 R1 和 3 个相等约束，这时只需修改 R1 的尺寸值，便 可修改所有半径的大小。
拉伸体
旋转体
拉伸
旋转 草图
图3-5 由草图生成实体特征
草图图形可以是封闭的，也可以是开启的。封闭的草图可以生成实体模型，也可以生 成曲面模型，如图 3-6（a）所示。但开启的草图则只能生成曲面模型，如图 3-6（b）所示。
实体模型
曲面模型
曲面模型
封闭的草图
开启的草图
(a)
(b)
图3-6 封闭和开启草图生成的三维模型
要求。 如图 3-10 所示，设计者欲设计一正方形截面，可以先勾画一任意四边形，图中显示了
增加约束时图形的变化过程。最后当改变尺寸大小时，该尺寸可以驱动产生任何大小的正方 形。
3 4
2
1
任意四边形
边 1 施加 水平约束
边 1 与边 2
施加垂直约
2
H
H
1
1
边 1 与边 3. 边 2 与 边 4 施加平行约束
2. 草图中的约束状态 草图图形实际上是由一系列特征点决定的，如直线由两个端点决定，圆由圆心和圆周 上的点决定，样条曲线由插值点决定等。约束驱动草图变化，实际上是在新的约束条件下， 求解新的特征点位置。 为了保证能够唯一地确定特征点新的位置，就必须给出足够的约束。否则，当约束变 化时，草图可能会有多种变化结果，即特征点的解不唯一。根据草图上的尺寸和几何约束数 量是否能够完全确定草图形状，草图的约束状态可分为满约束、欠约束和过约束三种。 （1）满约束状态 如果草图上的约束数量正好能够完全确定草图的形状，这种状态称为满约束状态。这
图3-2 导轨约束载荷的运动
一个空间物体的约束度与自由度之和等于 6。自由的空间物体有 6 个自由度，即 3 个坐 标方向的移动和围绕 3 个坐标轴的旋转。
三、参数化设计中的约束度与自由度 参数化设计中的约束度与前述概念相同，只是约束对象有了变化。对图素施加的某个约 束使组成图形的图素的自由度降低的个数称为该约束的约束度。 三维设计软件中约束的对象（即图素）有两种，包括草图绘制的对象和装配中的零件对 象。草图绘制的对象是平面上的对象，如直线、矩形、圆等，这些对象称为草图实体。草图
2
施加一个
L1 尺寸约束
2
L1
利用尺寸控制正方 形大小，可得任意 大小的正方形
2
2
L1 正方形
边 1 与边 4 L1 施加相等约束 2
3
2
4
2
1 矩形
图3-10 草图的约束驱动
基于草图的这一特性，设计者在设计三维模型的截面时，可以先勾画出截面的大致形状， 而不必过多地考虑图形的精确尺寸和位置关系，然后不断增加和修改约束，使初始图形逐渐 满足人的设计意图，最终达到需要的形状和大小，这便是“草图”的由来。
赋予参数不同的值，得到 不同大小的模型
图3-1 参数化模型
3.1.1 参数化设计的约束
一、约束的概念 约束指事物存在所必须具备的某种条件或事物之间应满足的某种关系，约束的观点反映 了事物之间的联系。参数设计约束指设计中直线、圆弧等图素的性质、属性和图素之间满足 的某种关系，以及图形和尺寸之间满足某种关系。 二、机械设计中的约束度与自由度 机械类产品中，基本构架支撑运动部件，运动部件完成产品的功能。运动和固定的主要 知识基础是约束度和自由度，它们是相反的两个概念。机构设计的一个重点就是约束度与自 由度的控制，如导轨连接允许载荷沿导轨运动，用术语解释是导轨上的载荷只有 1 个自由度。 从约束度的角度解释，则是导轨约束了载荷除延导轨运动以外的 5 个空间自由度，如图 3-2 所示。
图3-11 三角形的满约束状态
当任一尺寸值改变时，利用上述 6 个方程，就能求出唯一的新的三角形。 当然，在保证草图满约束的条件下，约束形式并不是唯一的。如图 3-11 所示的三角形， 只要保证约束数量为 6，其约束形式也可以改变为图 3-12 所示的形式，这时仍能唯一确定 三角形。
y 2
1 d4
o
在绘制草图时， Pro/E 对图形有以下限制： 1. 图形由几何元素链组成。即元素之间必须首尾相连，不能交叉，不能孤立存在。图 形链可以是封闭的，也可以是开启的。 2. 封闭的图形链内部（外环）可以存在若干同样封闭的图形链（内环），但内环与外环、 内环与内环之间不能相交。
根据上述限制，如图 3-8 所示的几种图形不能作为草图。
d3
d2
d0
y
3 d1 x
d3 d4 o
d2
d0 d1 x
图3-12 三角形不同的约束形式
若要求三角形为等边三角形，也可以有不同的约束形式，如图 3-13 所示。
d2
d2
d3
d3 d1
d1= d2, d3=60°
d2
d3
d1
d2= d3=60°
d1 d1= d2= d3
图3-13 等边三角形不同的约束形式
美国 PTC 公司提出了参数化建模方法，并在 Pro/E 中率先推出了参数化建模技术。SDRC 也提出了变量化设计方法，并在 I-DEAS 中应用。虽然两个系统的叫法不一，并在底层实现 原理（主要是约束的处理方面）上有所区别，但共性都是模型的参数化。所谓参数化设计， 就是允许设计之初进行草图设计，再根据设计要求逐渐在草图上施加几何和尺寸约束，并根 据约束变化驱动模型变化。因此参数化设计是一种“基于约束”的、并能用尺寸驱动模型变 化的设计。如图 3-1 所示的参数化模型大小由四个尺寸参数确定，通过改变四个尺寸的值， 便可得到不同的三维模型。
其中 d4+ d0 cos d1 ， y2 = y1 + d0 sin d1 ；根据角度尺寸 d1 和尺寸 d0 确定
点 3： x3 = x1 + d2 ， y3 = y1 ；
根据水平约束 H 和尺寸 d2 确定
y 2
d0
d4 1
d1 d2
o
3 d3 x
自动更新
拉伸
修改草图
草图
矩形槽修改成 V 形槽
图3-9 三维模型随草图修改自动更新
3.2.2 草图中的约束驱动与约束类型
一、草图的约束驱动
1. 约束驱动的概念 约束驱动（Constraint driving）是草图最重要的技术特性。它是指在草图上施加尺寸和 几何约束，或当尺寸值和约束类型发生变化时，草图图形会自动发生变化，以满足新的约束
二、草图的组成 从草图的定义可以看出，草图通常由图形、约束和辅助几何组成，如图 3-7 所示。
图形
草图
约束
尺寸约束 几何约束
辅助几何
图3-7 草图的组成
图形是由几何元素构成的几何形状，是草图的主体。几何元素包括直线、圆弧、圆、椭 圆、样条曲线等，约束包括尺寸约束和几何约束。辅助几何是指在绘制草图时常常需要参考 几何，如旋转的中心线、尺寸标准基准等。辅助几何不影响草图的形状，不参与三维模型的 建立，仅仅是确定草图几何元素的相对位置。在上述草图组成中，图形和约束是必不可少的。 如果没有约束，草图将有无限的变化形式，因而无法满足人的设计意图。
交叉
内环相交
内环与外环相交
图3-8 不能作为草图的图形
三、草图的作用 草图通常用于三维模型的截面定义，拉伸、旋转、扫描等三维特征都是基于草图形成 的。因此在三维建模过程中，草图被视为一种基本特征，称为“草图特征”。 草图被用于建立三维模型后，草图图形和所有约束都将保留在三维模型中。当草图发 生变化时，基于它生成的三维模型也将自动更新，这就为三维模型的编辑带来了极大方便， 大大增加了三维模型修改的柔性。如图 3-9 所示，当草图被修改后，三维模型会自动更新。 因此，草图是实现三维参数化建模的重要基础。