1 2
r2
12 r3
1 0
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
即： 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。 引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明 不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 , , Pt
使 Pt Pt1 P1A E ，即 Pt Pt1 P1E EA1 。于是
Pt Pt1 Pt Pt1
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 Et 1。 若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 A P1 P2 Pt
A 因为P1, P2 , , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
1r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
P1A E P1E A1
上两式表明：A 经一系列初等行变换化为 E ，则 E
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。Ei (k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
Eij (k )表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i 矩阵或表示单位矩阵第 j 列乘常数k加到第 列后得到的
1 5
n 【注】 设 A 和 B 都是 阶方阵，则求它们逆矩阵的
方法有如下几种：
（1）定义法。若 AB BA E ，则 A 是可逆矩阵，且
A1 B 。
（2）利用推论1。若 AB E 或 BA E ，则 A 和
B 都可逆，并且 A1 B, B1 A
（3）公式法。若 A 0 ，则矩阵A可逆，且
E 就化成了 A1 ( A 1
1 A
A) 。
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
an1 an2 ann
1 0
0 1
0 0
0
0
1
【注】上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换。
例2 设
1 1 1 A 1 1 1
1 1 1
求A 1 。
解
1 1 1
Pt Pt1 P1 ( A, B) (E, A1B)
或 ( A, B) 初等行变换(E, A1B)
即对矩阵 (A, B) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，B
就化成了 A1B 。
r
特别地，当 B E 时，若 ( A, E) ~(E, X ) ，则
A 可逆，且 X A1。这便是前面给出的结论。
初等矩阵。
1
0
0
1
第i行
Eij
1
0
第j行
0
1
1
0
Ei
(k
)
0
k
0 第i行
0
1
1
0
0
1
第i行
Eij
(k
)
0
k
1
第j行
0
0
0
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
3．初ij 左乘 A
A 1 1 A A
（4）初等变换法。
A , E 初等行变换 E, A 1 ，或
。
An En
初等列变换
En A1
（5）用分块矩阵求逆矩阵。
三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用
设有 n 阶可逆矩阵A及 n s 矩阵 B ，满足矩阵
方程 AX B 的 X 如何快捷得到？
直接有 X A1B
n 【注】 这里乘以相应 阶初等矩阵的意思是：
对 A 作一次什么样的初等变换，就相当于 A
乘以对 E 作同样初等变换得到的初等矩阵。
4．初等矩阵的可逆性
因为 Eij Eij E ，Ei (k )Ei (k 1) E ，Eij (k )Eij (k ) E 所以 Eij1 Eij ，Ei (k )1 Ei (k 1) ，Eij (k)1 Eij (k) 。
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
(
1)
EE131
E12 (2)E32 (1)E21 (2)E23 (3)E31 (2)E32 (1)E2 (1)E13
【注】矩阵 A 可逆的一个重要意义是 A 可以分解为初等
矩阵的乘积。这时 AB（或 AB ）相当于对 B 施行若干
次初等行（列）变换。
3.2 初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法
一 初等矩阵的概念
二 初等变换法求矩阵的逆矩阵
三 逆矩阵在解矩阵方程中的应用
一、初等矩阵的概念
1．初等矩阵 定义1 由单位矩阵 经过一次初等变换后得到的矩阵称为
初等矩阵。
2．初等矩阵的类型
三种初等变换对应有三种初等矩阵。 （1）交换两行（或列）。Eij 表示单位矩阵交换i、j行（列）
aij
，得
mn
a11
Eij
A
a
j1
ai1
am1
a1n
a jn
ain
amn
第i行 第j行
其结果相当于对矩阵 A施第一种初等行变换：
A 的第 i行与第 j 行对调（ ri rj ）。类似地，
n 阶初等矩阵 Eij右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
逆矩阵。这时，对
2n n
阶矩阵
An
En
进行初等列变换，
当上半子块化为 En 时，A可逆，且下半子块就是 A1。即
An En
列初等变换
En A1
若上半子块能够化为 En 时，说明 A 可逆，否则，A 不
可逆。
【注】 在这种方法中，只能用列变换，不能用行变换。
例3
求矩阵
A
2 4
(
A,
E)
1
1
1
1 1 1
1 0 0
1 1 1
0
1
0
r r2
r1 +r3
0
2
2
0 0 1
0 2 0
1 0 0
1
1
0
1 0 1
1 1 1
r2 r3
0
2
0
0 2 2
1 0 0
1 1 1
1 1
0 1
1 r2 r3 0
0
0
2 0
0 2
1 0 0
1
0
1
0 1 1
3 1
的逆矩阵。
解
2
A2 E2
4 1
3
1
1
1
2c1
2
0
1 2
3
1
1
-3c1
c2
2
0
1 2
0
5
3 2
0 1
0 1
0 1
1
-15c2
2
1
2
0
0
1
1
-2c2c1
0
3
10
1 5
1 10
2 5
0
1
3 10
1 5
E A1
故
A1
1 10
2 5
3 10
可逆。
例1 设
0 2 1
A
3
0
2
2 3 0
把 A 表示成初等矩阵的乘积。
解 见§3.1例3
0 2 1
1 2 0
1 2 0
A
3
0
2
c1c3