第三节 排队论及其应用 排队论也称随机服务系统，是研究“服务”系 统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队现象以及合 理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，是 运筹学的一个重要分支。 排队论的内容十分丰富，应用也十分广泛，本 节主要介绍排队论的基本方法及其在交通流理论中的 一些应用。 一、基本概念 （一）排队 排队单指等待服务的车辆，不包括正在被服务 的车辆；而排队系统则既包括等待服务的车辆，又包 括正在被服务的车辆。
（三）韦布尔分布 2．适用条件 韦布尔分布适用范围较广 ，交通流中的车头 时距分布、速度分布等一般都可用韦布尔分布来描述。 实践表明，韦布尔分布常常具有与皮尔逊Ⅲ型分 布、复合指数分布、对数正态分布和正态分布同样的 效力。韦布尔分布的拟合步骤并不复杂，其分布函数 也比较简单，这是皮尔逊Ⅲ型分布等分布所不具备的 优点，这个优点给概率计算带来了很多便利。此外， 韦布尔分布随机数的产生也很简便。因此，当使用最 简单的负指数分布或移位负指数分布不能拟合实测的 数据时，选用韦布尔分布来拟合是最好的出路之一。 （四）爱尔朗分布 爱尔朗分布也是较为通用的描述车头时距分布、 速度分布等交通流参数分布的概率分布模型，
（三）排队系统的主要数量指标 1．等待时间 从车辆到达时起至开始接受服务时止的这段时间。 2．忙期 服务台连续繁忙的时期，这涉及到服务台的工作强 度。 3．队长 这一指标有排队车辆数与排队系统中车辆数之分， 是排队系统服务水平的一种度量。
二、基本排队系统 （一）M/M/1系统 1．计算公式 由于M/M/1系统的排队通道只有一条，因此该 系统也称为“单通道服务”系统。设车辆的平均到达 率为λ，则到达的平均时距为1/λ。排队从单通道接受 服务后出来的平均服务率为μ，则平均服务时间为1/μ。 比率ρ=λ/ μ称为服务强度或交通强度，可确定各种状 态的性质。 所谓状态，指的是排队系统的车辆数。如果ρ<1， 并且时间充分，每个状态都按一定的非零概率反复出 现。当ρ≥1时，任何状态都是不稳定的，而排队长度 将会变得越来越长。因此，要保持稳定状态即排队能 够消散的条件是ρ<1。
3．服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳车辆，每一车 辆服务多长时间。每次服务可以接待单个车辆，也可 以成批接待。服务时间的分布常用以下几种： （1）定长分布服务——每一车辆的服务时间相等； （2）负指数分布服务——各车辆的服务时间相互 独立，服从相同的负指数分布； （3）爱尔朗分布服务——各车辆的服务时间相互 独立，服从相同的爱尔朗分布。 我们常用M代表泊松输入或负指数分布服务， D代表定长输入或定长服务，Ek代表爱尔朗输入或服 务，例如M/M/N代表泊松输入、负指数分布服务、N 个服务台的排队系统。
除此之外，还可计算到达数小于和大于k的概率：
（5－13） （5－1Байду номын сангаас）
（三）负二项分布 1．基本公式 （5－18）
（5－19）
二、连续型分布 描述事件之间时间间隔的分布为连续型分布， 连续型分布常用来描述车头时距、速度等交通流参数 的统计特征。 （一）负指数分布 1．基本公式 若车辆到达符合泊松分布，则车头时距就是负 指数分布。 由（5—2）式可知，在计数间隔内没有车辆 到达（k＝0）的概率为：
作业 • 离散型车流分布模型的类型、表达式、适用条件和 适用情况？
• 连续型车流分布模型的类型、表达式、适用条件和 适用情况？ • 排队论、排队系统及服务方式？ • 有60辆车随意分布在5km长的道路上，对其中任 意500m长的一段，试求： 有4辆车的概率 有大于4辆车的概率。
2．排队规则 指到达的车辆按怎样的次序接受服务，包括： （1）损失制——车辆到达时，若所有服务台均被 占用，则该车辆不排队等待； （2）等待制——车辆到达时，若所有服务台均被 占用，该车辆排队等待服务，服务规则有先到先服务 和优先服务等多种； （3）混合制——车辆排队长度受限制，队长小于 一定值，则排队等待，否则不排队。
（二）排队系统的三个组成部分 1．输入过程 就是指各种类型的车辆按怎样的规律到达，常 见的输入过程有： （1）定长输入——车辆均匀到达，车头时距相同； （2）泊松输入——车辆到达符合泊松分布，车头 时距服从负指数分布，此类输入过程最易处理，应用 最广泛； （3）爱尔朗输入——车辆到达车头时距符合爱尔 朗分布。
随着科学的进步，特别是计算机技术的发展，交通 流理论的内容也在不断更新和充实。在传统交通流理 论的基础上，出现了现代交通流理论。传统交通流理 论已经基本趋于成熟，而现代交通流理论正在逐步发 展。就目前的应用来看，传统交通流理论仍居主导地 位，其方法相对也较容易实现。现代交通流理论以传 统交通流理论为基础，只是其所应用的研究工具和手 段与以前相比得到了很大改善，从更宽广的领域对交 通流理论进行了研究。 主要内容如下： 1、交通流特性参数的分布； 2、排队论（也即随机服务系统）的应用； 3、跟驰理论介绍； 4、流体力学模型以及交通波理论； 5、可插车间隙理论。
上式表明，在具体的时间间隔t内，如无车辆到达， 则上次车到达和下次车到达之间的车头时距至少有t 秒,换句话说，P(0)也是车头时距h等于或大于t秒的概 率，于是有： (5—22) 而车头时距小于t的概率则为： (5—23)
（5—24）
2．适用条件 移位负指数分布适合描述限制超车的单列车流车 头时距分布和低流量时多列车流的车头时距分布。 移位负指数分布的概率密度函数曲线是随的值单 调递减的，即移位负指数分布的车头时距，越接近其出现 的可能性越大，但这在一般情况下不符合驾驶员的心理习 惯和行车特点。从统计角度看，具有中等反应强度的驾驶 员占大多数，他们行车时是在安全条件下保持较短的车间 距离（前车车尾与后车车头之间的距离，不同于车头间 距），只有少部分反应特别灵敏或较冒失的驾驶员才会不 顾安全地去追求更短的车间距离。因此，车头时距分布的 概率密度曲线一般总是先升后降的。为了克服移位负指数 分布的这种局限性，可用更通用的连续型分布，如爱尔朗 （Erlang）分布、韦布尔(Weibull)分布、皮尔逊Ⅲ型分布、 对数正态分布、复合指数分布等等。
第二节 交通流特性参数的统计分布
在编制交通规划或设计道路交通设施、确定交 通管理方案时，需要预测交通流的某些具体特性，并 且希望能使用现有的数据或假设的数据。 车辆的到达具有随机性，描述这种随机性的方 法有两种：一种是离散型分布，研究在一定时间内到 达的交通数量的波动性；另一种是连续型分布，研究 车辆间隔时间、车速等交通流参数的统计分布。
例题二 设60辆车随机分布在4km长的道路上，求任意 400m路段上有4辆车以上的概率。 【解】把公式5－1中的t理解为计算车辆数的空间 间隔，则本例中车辆在空间上的分布服从泊松分布：
任意400m路段上有4辆车以上的概率为0.8488。
（二）二项分布 1．基本公式
（5－11） 其中
通常记p=λt/n,则二项分布可写成： （5－12）
一、离散型分布 在一定时间间隔内到达的车辆数是随机的，描述其 统计规律可以用离散型分布，常用的离散型分布有如 下几种。 （一）泊松分布 1．基本公式
（ 5－ 1）
4．例题一 某信号交叉口的周期为c=97秒，有效绿灯时 间为g=44秒。在有效绿灯时间内排队的车流以V=900 辆/小时的流率通过交叉口，在绿灯时间外到达的车 辆需要排队。设车流的到达率为q=369辆/小时且服从 泊松分布，求到达车辆不致两次排队的周期数占周期 总数的最大百分比。 【解】由于车流只能在有效绿灯时间通过，所以一 个周期能通过的最大车辆数A＝Vg＝44×900/3600＝ 11辆，如果某周期到达的车辆数N大于11辆，则最后 到达的N－11辆车要发生二次排队。泊松分布中一个 周期内平均到达的车辆数：
第五章 交通流理论 第一节 概述 交通流理论是研究交通流变化规律的方法体系， 是一门边缘科学，它通过分析的方法来阐述交通现象 及其机理，探讨交通流各参数间的相互关系及其变化 规律，从而为交通规划、交通控制、道路设计以及智 能运输系统提供理论依据和支持。 二十世纪三十年代交通流理论的研究开始起步，直 到第二次世界大战结束为第一阶段。二战以后，世界 各国开始着手发展经济，交通问题变得日益重要，对 交通流理论的研究也就进入了第二阶段。 1959 年 12 月，在美国的底特律市举行了首届国际交通流理论学 术会议，丹尼尔（ Daniel ）和马休（ Matthew ）在汇 集了各方面的研究成果后，于1975年整理出版了《交 通流理论》一书。