第十一章 三角形
知识点一：三角形
1. 三角形的概念
1、由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做＿＿＿＿＿＿，相邻两边的公共端点叫做_____________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________.如图 以A 、B 、C 为顶点的三角形ABC ，可以记作＿＿＿＿＿＿＿，读作_____________.△ABC 的三边，有时也用_____________表示，顶点A 所对的边BC 用____表示，顶点B 所对的边CA 用____表示，顶点C 所对的边AB 用____表示.2.三角形按边分类
三角形 直角三角形
斜三角形
锐角三角形 ＿＿＿＿＿. 三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 ＿＿＿＿＿＿＿.3.在等腰三角形中，相等的两边都叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做＿＿＿，腰和底的夹角叫做＿＿＿＿.如右图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，那么腰是＿＿＿，底是＿＿＿＿，顶角是＿＿＿＿，底角是＿＿＿＿＿.4. 三角形三边的关系（重点）
三角形的任意两边之和 。

三角形的任意两边之差 。

（这两个条件满足其中一个即可）
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a ，b ，c ，则 。

已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度的范围： 5. 三角形的高
从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴，AD 是△ABC 的高，则AD⊥_____.
三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“ ”。

6. 三角形的中线
连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑵，AD 是△ABC 的中线，则BD ＝______=
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“ ”。

三角形的中线可以将三角形分为 相等的两个小三角形。

7. 三角形的角平分线
∠BAC 的平分线AD ，交∠BAC 的对边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的___________.如图⑶，AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ＝∠_______.
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条 ；角的平分线是条 。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“ ”。

⎧
⎨⎩⎧⎨⎩
⎧⎨⎩⎧⎨⎩
e A t h
e
i n g
8. 三角形具有 性
9. 四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

10. 三角形的内角和定理
三角形的内角和为 ，与三角形的形状无关。

11. 直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角 （相加为90°）。

有两个角互余的三角形是 。

12. 三角形外角的意义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做 。

13. 三角形外角的性质
（1）三角形的一个外角与相邻的内角 。

即
180
41=∠+∠（2）三角形的一个外角等于 。

即 （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

即 或 14. 两个基本图形
（1） （2） 15.三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。

（1）如图1：C △ABC =AB ＋BC ＋AC 或 。

（2）如图2：AD 为高，
（3）如图3：△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，则有：
S △ABC =
·AB·CD=·AC·BC 即：AB·CD=AC·BC 121
2
43
21
知识点二：多边形及其内角和
1. 多边形的概念
在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做，多边形中相邻两边组成的角叫做它的。

多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做。

一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为条，其所有的对角线条数为 .
2. 凸多边形
画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是。

3. 正多边形
各角相等，各边相等的多边形叫做。

（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
4. n边形的内角和定理
n边形的内角和为
5. n边形的外角和定理
多边形的外角和等于，与多边形的形状和边数无关。

n n
6.一个边形的对角线有条，过边形一个顶点能作出条
n
对角线，把边形分成了个三角形。

例题讲解
例1 已知一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350°,求这个多边形的边数.
例2 下列各组三条线段中，不能组成三角形的是（）。

A、三线段之比为1：2：3
B、 a + 1 ，a + 2 ，a + 3（a﹥0）
C、5cm ，6 cm ，10 cm
D、3cm ，4 cm ，9 cm
例3 等腰三角形的两边长分别为12和6，则此三角形的周长为（）。

A、24
B、30
C、24或30
D、以上都不对
例4、如图AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6㎝，AC=8㎝，BC=10㎝，
∠BAC=90°，试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE与△ABE的周长的差。

练习题：
1. 锐角三角形的三条高都在 ，钝角三角形有 条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的 。

2. 若等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则它的周长是 。

3. 要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条。

4. 在△ABC
中，若∠A=∠C=
∠B，则∠A= ，∠B=
，这个三角形是
1
3。

5、三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三条边的取值范围是___________。

a
6、△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝ 。

7、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和___________。

8、等腰三角形的底边长为10cm,一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部分的周
长之差为2cm,则这个等腰三角形的腰长为_____________________.9、用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形.⑴如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？⑵能围成有一边长为4cm 的等腰三角形吗？为什么？
10、在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，填空：
⑴BE ＝______＝
_____；⑵121
_______;2
BAD ∠==⑶⑷_____90;AFB ∠==
______.
ABC S ∆=11、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定12、如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC =60°，求∠DAC 的度数.
13、、如图，AB∥CD，点P 是AD 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么PB 与PC 有何位置关系？为什么？
41B C。