精品文档2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z• =（ ）A．25 B．5 C． D．3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（ ）A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：ξpqPqp若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（ ）A． B． C． D．16．已知实数 x，y 满足不等式组，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于 A，B 两点，若 =2 ，则 =（ ） A．2 B． C． D．与 p 有关 8．向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），精品文档精品文档则 • =（ ） A．0 B．4 C．8 D．169．记 min{x，y}=设 f（x）=min{x2，x3}，则（ ）A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发， 依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边 界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（ ）A．（ ， ） B．（，4） C．（ ， ） D．（ ， ）二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分） 11．双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为 ，离心率为 ． 12 ． 已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为，体积精品文档精品文档为．13．已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn，T（n n∈N*），若 Sn= n2+ n， b1=a1，b2=a3，则 an= ，Tn= ． 14．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，b= ，△ABC 的面积为，则 c= ，B= ．15．将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻， 则不同的排法种数为 ．（用具体的数字作答） 16．已知正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y 的最小值为 ．17．已知 a，b∈R 且 0≤a+b≤1，函数 f（x）=x2+ax+b 在[﹣ ，0]上至少存在一个零点，则 a﹣2b 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18．已知函数 f（x）=2sin2x+cos（2x﹣ ）． （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在（0， ）上的单调递增区间． 19．如图，已知三棱锥 P﹣ABC，PA⊥平面 ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC， M 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证：PC⊥BC． （Ⅱ）求二面角 M﹣AC﹣B 的大小．精品文档精品文档20．已知函数 f（x）= x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当 a=2，b=0 时，求 f（x）在[0，3]上的值域． （Ⅱ）对任意的 b，函数 g（x）=|f（x）|﹣ 的零点不超过 4 个，求 a 的取值范 围． 21．已知点 A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆 C： + =1（a＞b＞0）上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）P 是线段 AB 上的点，直线 y= x+m（m≥0）交椭圆 C 于 M、N 两点，若 △MNP 是斜边长为 的直角三角形，求直线 MN 的方程．22．已知数列{an}满足 an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）． （Ⅰ）证明：an＞1； （Ⅱ）证明： + +…+ ＜ （n≥2）．精品文档精品文档2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 【考点】交集及其运算． 【分析】由绝对值不等式的解法求出 A，由交集的运算求出 A∩B． 【解答】解：由题意知，A={x∈R||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2）， B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞）， 则 A∩B=[﹣1，2）， 故选 B2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z• =（ ）A．25 B．5 C． D． 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由【解答】解：∵z= =，∴z• =．故选：D．求解．3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．精品文档精品文档【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可． 【解答】解：a=0 时，f（x）=x2+b 为偶函数，是充分条件， 由 f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+b=f（x），得 f（x）是偶函数， 故 a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的充分不必要条件， 故选：A．4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（ ） A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】对 a 进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四 个不等式关系成立与否可得答案． 【解答】解：当 a∈（0，1）时，若 ab＞1，则 b＜0， 则 a＜b 不成立， 当 a∈（1，+∞）时，若 ab＞1，则 b＞0， 则 ab＜b 不成立，a＞b 不一定成立， 故选：A．5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：ξpqPqp若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（ ）A． B． C． D．1 【考点】离散型随机变量及其分布列． 【分析】由随机变量 ξ 的分布列的性质列出方程组，能求出结果． 【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）= ． ∴由随机变量 ξ 的分布列的性质得：，精品文档精品文档∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣ = ． 故选：C．6．已知实数 x，y 满足不等式组，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 【考点】简单线性规划． 【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几 何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解 a 值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：令 z=y﹣2x，则 z 表示直线 z=y﹣2x 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 结合图象可知，当 z=y﹣2x 经过点 A 时 z 最大，由可知 A（﹣4，﹣1），A（﹣4，﹣1）在直线 y+a=0 上，可得 a=1． 故选：B．7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于精品文档精品文档A，B 两点，若 =2 ，则 =（ ）A．2 B． C． D．与 p 有关 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0，利用向量 条件，求出 A，B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论． 【解答】解：设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=2pm，y1y2=﹣2p2， ∵ =2 ，∴（p﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣p，y2）， ∴x1=﹣2x2+p，y1=﹣2y2， 可得 y2=p，y1=﹣2p， ∴x2= p，x1=2p，∴==，故选 B．8．向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），则 • =（ ） A．0 B．4 C．8 D．16 【考点】平面向量数量积的运算． 【 分 析 】 向 量 ， 满 足 | |=4 ， • （ ﹣ ） =0 ， 即= ． |λ ﹣|==≥ 2 （ λ ∈ R ）， 化 为 ： 16λ2 ﹣2+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，必须△≤0，解出即可得出．【解答】解：向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，即 = ．若|λ ﹣ |==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，精品文档精品文档∴△=﹣64（ ﹣4）≤0，化为∴ • =8． 故选：C．≤0，9．记 min{x，y}=设 f（x）=min{x2，x3}，则（ ）A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 【考点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用． 【分析】求出 f（x）的解析式，对 t 的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧 函数的单调性和值域，从而得出答案． 【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x）， ∴当 x≤1 时，x2﹣x3≥0，当 x＞1 时，x2﹣x3＜0，∴f（x）=．若 t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3， f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3， 若 0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3， f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3， 当 t=1 时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2， f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2， ∴当 t＞0 时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t） ﹣f（﹣t）， 故 A 错误，B 错误；精品文档精品文档当 t＞0 时，令 g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2， 则 g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令 g′（t）=0 得﹣3t2+8t﹣1=0， ∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点 t1，t2， ∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数， ∴存在 t0＞t2，使得 g（t0）＜0， ∴|g（t0）|＞g（t0）， 故 C 正确； 令 h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t， 则 h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣ ）2+ ＞0， ∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0， ∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t）， 故 D 错误． 故选 C．10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发， 依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边 界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（ ）A．（ ， ） B．（，4） C．（ ， ） D．（ ， ）【考点】直线与平面所成的角． 【分析】作点 P 关于平面 BCC1B1 的对称点 P1，采用极限分析法． 【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC1B1 的入射点离点 B 距离 越近，入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值越大，精品文档如图所示，此时tan∠PHB=，结合选项，可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（，），故选：C．二、填空题（本大题共7小题，共36分）11．双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率e===2，故答案为：（﹣4，0），（4，0），212．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2+2，体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC ⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．∴该几何体的表面积S=++=2+2，体积V==．故答案为：2+2，．13．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}的前n项和为S n，T n（n∈N*），若S n=n2+n，b1=a1，b2=a3，则a n=3n﹣1，T n=．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．【分析】利用a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．b2=a3=8，公比q=4．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n=n2+n﹣=3n﹣1．﹣1n=1时也成立，∴a n=3n﹣1．b2=a3=8，公比q==4．∴T n==．故答案为：3n﹣1，．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面积为，则c=1+，B=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而可求cosB 的值，结合B的范围即可求得B的值．【解答】解：∵A=，b=，△ABC的面积为=bcsinA=×c×，∴解得：c=1+，∴由余弦定理可得：a==2，可得：cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：1+，．15．将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为288．（用具体的数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有A43=24种安排方法，此时共有6×24=144种不同的排法；②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22=2种情况，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有A42=12种安排方法，此时共有2×6×12=144种不同的排法；则共有144+144=288种不同的排法；故答案为：288．16．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．17．已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为[0，3] ．【考点】二次函数的性质．【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．【解答】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间[﹣，0]有零点，只要，或，其对应的平面区域如下图所示：则当a=1，b=﹣1时，a﹣2b取最大值3，当a=0，b=0时，a﹣2b取最小值0，所以a﹣2b的取值范围为[0，3]；故答案为：[0，3]．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．化简可得：f（x）=1﹣cos2x+cos2x+sin2x=1+sin（2x﹣）∴函数的最小正周期T=（Ⅱ）由，k∈Z，得≤x≤．∴f（x）在（0，）上的单调递增区间为（0，]．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO 即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB 的中点，所以MO∥PA，又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．设AC=2，则BC=2，MO=1，OH=，在Rt△MHO中，tan∠MHO=．二面角M﹣AC﹣B的大小为300．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，]；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a的取值范围[﹣2.2]．21．已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时，=，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），则a=2，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx﹣1=0，则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，①当MN为斜边时，=，解得：m=0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，即21m2+8m﹣4=0，解得：m=，m=﹣（舍），由△＞0，则m=，过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，∴直线MN的方程为y=x+，符合题意，综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．2=na n2+a n（n∈N*）．22．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+1（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明： ++…+＜（n≥2）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系可得（n+1）（a n+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）+1（na n+n+1），再根据a n＞0，可得a n+1﹣1与a n﹣1同号，问题得以证明，（Ⅱ）先判断出1＜a n≤2，再得到a n2≤，n≥2，利用放缩法得到≤2（精品文档﹣ ）+（ ﹣ + ），再分别取 n=2，3，以及 n≥4 即可证明． 【解答】证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）an+12﹣（n+1）=nan2﹣n+an﹣1，∴（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）=（an﹣1）（nan+n+1），由 an＞0，n∈N*，∴（n+1）（an+1+1）＞0，nan+n+1＞0，∴an+1﹣1 与 an﹣1 同号，∵a1﹣1=1＞0， ∴an＞1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）an+12=nan2+an＜（n+1）an2， ∴an+1＜an，1＜an≤2， 又由题意可得 an=（n+1）an+12﹣nan2， ∴a1=2a22﹣a12，a2=3a32﹣2a22，…，an=（n+1）an+12﹣nan2， 相加可得 a1+a2+…+an=（n+1）an+12﹣4＜2n，∴an+12≤，即 an2≤，n≥2，∴ ≤2（ + ）≤2（ ﹣ ）+（ ﹣ + ），n≥2，当 n=2 时， = ＜ ，当 n=3 时， + ≤＜ ＜，当 n ≥ 4 时 ， + +…+ ＜ 2 （ + + + ） + （ + + ﹣ ） =1+ + + + + ＜ ，精品文档精品文档从而，原命题得证精品文档精品文档2017 年 3 月 30 日精品文档。