2009年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离2．（5分）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．1604．（5分）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．5．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）6．（5分）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．8．（5分）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．69．（5分）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或210．（5分）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B=．12．（5分）若f（x）=a+是奇函数，则a=．13．（5分）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．14．（5分）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．17．（13分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．18．（13分）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．20．（12分）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M 在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P 的轨迹方程．21．（12分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．2009年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•重庆）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B2．（5分）（2009•重庆）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】由题意求出复数z，代入，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，可得选项．【解答】解：因为由条件知z=﹣1+2i，则=，故选A．3．（5分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．160【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．【解答】解：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6r x6﹣r•2r，令6﹣r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．4．（5分）（2009•重庆）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出，再利用向量的数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向量夹角．【解答】解：∵==2．又，∴=3．即cos＜a，b＞=3=1×6cos＜a，b＞，得cos＜a，b＞=，∴a与b的夹角为，故选项为C．5．（5分）（2009•重庆）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．6．（5分）（2009•重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们计算出总的滔法种类，再计算满足条件“从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件个数，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为总的滔法C154，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率P==．故选C．7．（5分）（2009•重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．【分析】利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C【解答】解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选C．8．（5分）（2009•重庆）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【分析】先通分得，然后由极限的性质知，由此可以求出a﹣b的值．【解答】解：∵已知==2，∴，∴a=2，b=﹣4；∴a﹣b=6．故选D．9．（5分）（2009•重庆）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或2【分析】三个互不重合的平面把空间分成六个部份有两种情形：一是其中两个平面平行，第三个平面都与它们相交；二是三个平面交于一条直线，考虑到两类即可解决．【解答】解：分两类：①当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；②当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D10．（5分）（2009•重庆）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π【分析】首先由题目中已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x求周期，需要把函数化为标准型，然后根据周期公式求解即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin2x﹣cos2x=，所以函数的周期T=，故答案选择B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•重庆）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B={x|0＜x＜3} ．【分析】要求A与B的交集，先要求出两个集合的区间，解出绝对值不等式得到集合A，根据指数函数的增减性得到集合B，然后取两集合的公共部分即可得到交集．【解答】解：由|x|＜3解得﹣3＜x＜3；由2x＞1=20，根据指数函数y=2x为增函数得到x＞0∴A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜3}．故答案为：{x|0＜x＜3}12．（5分）（2009•重庆）若f（x）=a+是奇函数，则a=﹣．【分析】充分不必要条件：若奇函数定义域为R（即x=0有意义），则f（0）=0．或用定义：f（﹣x）=﹣f（x）直接求a．【解答】解：函数的定义域为R，且为奇函数，则f（0）=a+=0，得a+=0，得a=﹣，检验：若a=﹣，则f（x）=+=，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x）为奇函数，符合题意．故答案为﹣．13．（5分）（2009•重庆）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有36种（用数字作答）．【分析】由题意知将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果．【解答】解：∵将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有C24A33=36．故答案为：3614．（5分）（2009•重庆）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1．【分析】由题设条件得b n====2b n，由此能+1够导出数列{b n}的通项公式b n．【解答】解：由条件得：b n====2b n+1且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．15．（5分）（2009•重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，）．【分析】不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入求得e 的范围．【解答】解：不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．由正弦定理有，由双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex o，|PF2|=ex o﹣a，则有=，得x o=＞a，分子分母同时除以a2，易得：＞1，解得1＜e＜+1故答案为（1，）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2009•重庆）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．【分析】（1）利用两角差的正弦公式及二倍角公式及化简三角函数；再利用三角函数的周期公式求出周期．（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为17．（13分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设A k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2B l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则A k，B l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（A k）=C2k（）k（）2﹣k，P（B l）=C21（）l（）2﹣l．据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=×=．（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=×=，P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=×+×=，P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=×+×+×=，P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=×+×=．P（ξ=4）=P（A2•B2）=×=．综上知ξ有分布列ξ01234P从而，ξ的期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．18．（13分）（2009•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g （x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，从而b=0，由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0（8分）（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数（14分）19．（12分）（2009•重庆）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，则从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离，从而DS为点A到平面BCS的距离，在Rt△ADS中求出DS即可；（Ⅱ）过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，根据二面角平面角的定义可知∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，过E点作EF ∥BC，交CS于点F，连接GF，在Rt△FEG中，求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥SD，由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离，因此在Rt△ADS中（Ⅱ）如图，过E电作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故．由于E为BS边中点，故，在Rt△CFE中，，因EF⊥平面CSD，又EG⊥CD故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，从而又可得△CGF～△CSD，因此而在Rt△CSD中，，在Rt△FEG中，可得，故所求二面角的大小为20．（12分）（2009•重庆）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M 在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P 的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b ＞0）．设，由准线方程．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（Ⅱ）设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+y y=4．因为，（1﹣x Q﹣y Q）•（1﹣x N﹣y n）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．由此可导出动点P的轨迹方程为．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程得．由得，解得a=2，c=，从而b=1，椭圆方程为．又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以，|MC|+|MD|=2a=4从而|MC|•|MD|，当且仅当|MC|=|MD|，即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（II）如图（20）图，设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+（y M）2=4 ①因为，（1﹣x Q，﹣y Q）•（1﹣x N，﹣y N）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．②记P点的坐标为（x P，y P），因为P是BQ的中点所以2x P=x Q+x B，2y P=y Q+y B由因为x N2+y N2=1，结合①，②得===故动点P的轨迹方程为21．（12分）（2009•重庆）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．【分析】（1）利用等比数列的性质，用a1、d表示出a2009、a2008，结合已知，列方程即可解出a1、d，进而求出a n．（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解．【解答】解：（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，从而a2009=a1d，a2008=a1d2，由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，解得d=3或d=﹣4（舍去）．∴d=3，又S3=3a1+3d=15．解得a1=2从而当n≤1005时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列得a n=a1d2009﹣（n﹣1）=a1d2010﹣n（1006≤n≤2009）因此（II）由题意a n2=a n﹣12a n+12（1＜n＜m），a m2=a m﹣12a12，a12=a m2a22得有①得④由①，②，③得a1a2a n=（a1a2a n）2，故a1a2a n=1．⑤又，故有．⑥下面反证法证明：m=6k若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而④及⑥可推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5═a m=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得a72++a m2=（a72++a122）++（a6k﹣52++a6k2）=（k﹣1）（a12++a62）=因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++a m2＞6+6（k﹣1）=6k=m=ma1a2a3a m。