复合函数零点问题
一、基础知识：
1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦
2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。

例如：已知()()2
2,x
f x
g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦
解：()2
224
f ==()()2412
g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。

例如：已知()2x
f x =，()2
2g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x
解：令()t f x =，则()2
020g t t t =⇒-=解得0,2t t ==
当()0020x
t f x =⇒=⇒=，则x ∈∅
当()2222x
t f x =⇒=⇒=，则1x =
综上所述：1x =
由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，外层是解关于
g(x)的方程，观察有几个t ，g(t)的值使得等式成立；内层
是结合着()f x =t ，求出每一个()f x =t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数
例1：关于x 的方程()2
22
13120x x ---+=的不相同实根的个数是（
）
A.3
B.4
C.5
D.8
5、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧： （1）作出()(),f x g x 的图像
（2）旋转外层函数的图像使外层函数x 轴对应内层y 轴
（3）先估计关于g(t)=0的方程中解的个数，再根据个数与()f x =t 的图像特点，分配每个t 函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定x 的个数 二、典型例题
例2：设定义域为R 的函数()1
,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的方程()()2
f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222
123x x x ++=______
例3：已知函数
11()||||f x x x x x
=+
--，
关于x 的方程2
()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．
例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,02
12,22
x x f x f x x -⎧-<≤⎪
=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程
()()2
610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
例5：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()2
0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）
A. ()2,0-
B. ()2,1--
C. ()0,1
D. ()0,2
例6：已知函数()x
x f x e
=，若关于x 的方
程()()2
10f
x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A. ()1,22,e e
⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C.
11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ D.
1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
例7：已知函数()()()2
32
211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫
-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪
-++≤⎩
，则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的实数根最多有___________个
例8：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根
则正确命题的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
作业：
1、若函数()3
2
f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程
()()()2
320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 2、已知函数()21,0
log ,0
ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确
的是（ ）
A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点
B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点
C. 无论a 为何值，均有2个零点
D. 无论a 为何值，均有4个零点。