综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-x2-3x+7的形 状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c和y=-x2-3x+7的形 状相同， a=1或a=-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.
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（3)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图
象 ( 不可能 ) 过点A（-2，3）。
（填“可能”或“不可能”）
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我思考，我进步
2 ax +k
（二）形如y = 二次函数
二次函数
(a≠0)的
顶点坐标
开口方向
a ＞0 向上
对称轴
y = ax 2+k
a
X=0 （0，K）
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图 象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，6）。求a、b、c。
想一想
我思考，我进步
2 形如:y=ax +bx+c(a≠0)
的函数叫二次函数
y
O
抛物线
x
想一想
我思考，我进步
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数
开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
a＞0
向上
向下
y = ax
2
X=0
(0,0)
a＜0
想一想
我思考，我进步
2
1. y=4x
2. y=2x2 3. y=x2
4. y=0.5x2
y
O
3 1
y
o
2
4 X
X
5、y=-4x2 6、y=-2x2 7、y=-x2 8、y=-0.5
7
5
6
8
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巩固练习1： 2 2 （1）抛物线y= 3 x 的开口向 上 ,对称轴 是 Y轴 ,顶点坐标是 (0,0) ,图象过第1、2 象限 ； （2）已知（如图）二次函数y = mx 2 o 的图象，则m < 0； .A 若图象过 (2,- 4)，则m= -1 ；
二次函数复习
想一想
我思考，我进步
说一说：通过二次函数的学习，
你应该学什么？你学会了什么？ 1、理解二次函数的概念； 2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向， 对称轴，顶点坐标；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式； 5、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题 及简单的综合运用。
6
y=x2-6x+7
5 4
=x2-6x+9-2
=(x-3)2-2
•-4 • -3 • -2
3
2 1 • -1 0 -1 • 1 • 2 • 3 • 4
-2
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基础练习
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下 平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 2-3 y=2(x+2) ________________________ =2x2+8x+5 2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个 单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函 数解析式为： 2+2+3 =-3x2+30x-70 y= 3(x-1-4) _____________________________
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探究练习:
1.若a>0, b>0, c>0,你能否画出 y=ax2+bx+c 的大致图象呢?
0
0
0
要画出二次函数的大致图象,不但 要知道a,b,c的符号,还必须明白b2-4ac 的大小.
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abc___0 > 2a+b_____0 <
1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
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我思考，我进步
开口方向 形状 a决定了抛物线的＿＿＿＿和＿＿＿
a和 b 对称轴由＿＿＿决定；
y 轴的交点位置； c决定了图象与_____
当a的绝对值相等时,其形状完全 相同,当a的绝对值越大,则开口越小, 反之成立
想一想
我思考，我进步
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
A x
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; y (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标；
O
x
y
y=2(x-1)2+2
y=2x2
2 1
o
y=2(x-1)2
1 2
x
2
-1 -2
2 Y=a(x-h) +k
Y=2(x-1) +2的图象可看作是 2 由y=2x 的图象经过怎样平 移得到的
y=2x2+2 y
y=2(x-1)2+2 y=2x2
2 1
o
1
2
x
-1
2 y=a(x-h) +k
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象 是怎样由y=x2的图象平移得到的？
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点
有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
没有交点
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
练习（四） 填空
1 2 1、二次函数y= 2 x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 ，顶点为______ (-2，-1) __________，对称轴为_____
2、已知二次函数y=0 。 顶点在y轴上，则b=___
1 2 2 x +bx-5的图象的
练习
根据下列条件，求二次函数的解析式。
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2.选择
(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,0), C B(4,0),则对称轴是_______ A直线x=2 B直线x=4 C直线x=3 D直线x= -3
(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,m), A B(4,m),则对称轴是_______ A 直线x=3 B 直线x=4 C直线x= -3 D直线x=2
B
1.从抛物线上两点的纵坐 标相等获得对称信息; A
2.从抛物线上两点之间的 线段被抛物线的对称轴垂 直平分获得对称信息.
0
B
形成天才的决定因素应 该是勤奋.
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
y= x 得到的；
1 2
2向 上 平移
3 个单位
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（2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a ＞ 0，k＜ 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ， Y 则a = 1/2 ,k = -2 ； 函数关系式是 O B 2 X y = 1/2x -2 。 A
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2.选择
(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是______. c A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
B (2)抛物线y=3x2-1的__________
A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点
C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
-2 -1 o 1 2
y=2(x-2)2
x
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2的开口向 下
练习巩固3：
(1)y = - 2(x+3) 对称轴是 x=-3 ,
，
顶点坐标是 ， （-3，0）
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