第五次课勾股定理及其应用
本章知识要点
A. 勾股定理及其逆定理。
B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。
C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。
D. 勾股定理及其逆定理的应用。
E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。
重点知识勾股定理的验证
验证方法验证过程
（美）伽菲尔德总统拼图如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以()()2
2
1
2
1
2
2
1
c
ab
b
a
b
a+
⨯
=
+
•
+，即
2
2
2c
b
a=
+
赵爽弦图如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a
b-为边长的小正方形和一个边长为c的大正方形，因为大正方形的边长为c，所以面积为2c，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b
a,的直角三角形和一个
边长为()a
b-的正方形，所以其面积为
()2
2
1
4a
b
ab-
+
⨯所以()2
2
2
1
4a
b
ab
c-
+
⨯
=，
从而2
2
2b
a
c+
=.
刘徽：青朱出入图如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以b
a,为边长的两个正方形的面积之和
名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理
重点知识确定几何体上的最短路线
描述示意图
几何体的侧面展开图长
方
体
将长方体相邻
侧面展开，转
化成一个长方
形
圆
柱
圆柱的侧面展
开图是一个长
方形
2
2
2B
B
A
B
AB'
+
'
=
名师提示(1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径.
(2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范
(3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。
9
E
D
B
A
C
F
7
D
A
E
B C
F
展开
5
甲
A E
F
D
丙
D
A
E
B
F
乙
B
A
B' B
A
展开
例1 两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,C A '，C C '，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+.
例2 (1)在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________；基本勾股数组有_____________。
(2)已知ABC ∆中，o B 90=∠，C B A ∠∠∠,,的对应边分别是c b a ,,，且12,5==b a ，则=2c
(3)已知一直角三角形中有两边长分别为3和4，第三边的平方为
例3已知，如图1-1-2，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积
B '
A D
C '
C
D '
B
a
c b
图1-1-1
图1-1-5 图1-1-6
例4 如图1-1-4，已知在△ABC 中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC 边上的高AD 的长.
例5 （1）已知Rt △ABC 的两直角边AC=5，BC=12，D 是BC 上一点．当AD 是∠A 的平分线时，求CD 的长？
（2）如图1-1-5，一张长为8cm,宽为4cm 的矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 恰好落在点A 上，求AE 的长。
（3）如图1-1-6,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分的面积.
．
A
D
C
B
图1-1-4
例6.（1）如图1-2-9（1），有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）
图1-2-9（1）
（2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
图1-1-9（2）
例7 如图1-2-6，A、B两个小镇在河流CD同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用.
图1-2-6
例8 如图1-2-7，一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，求梯子底端将向左滑动多少米？
家庭作业
1.下列结论错误的是（ ）
A.三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；
B.三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；
C.三条边长比为8∶16∶17的三角形是直角三角形；
D.三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形。
2.在ABC Rt ∆中，斜边AB=1，则式子222AC BC AB ++的值为（ ） A 、2； B 、4； C 、6； D 、8
3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则它斜边上的高为（ ） A 13 B 8.5 C 13
60 D 13
30
4.图1-1-1中两个正方形阴影部分面积分别为A=162cm ,B=252cm ,则直角三角形的面积为（ ）
A. 62cm
B. 122cm
C. 242cm
D. 32cm
5.△ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。
那么S △ABC ＝ ，CH ＝ ，MH ＝
图1-2-7
图1-1-1
6.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．
7.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD= .
8.如图1-1-2，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB=13，AD=12， AC=15,BD=5，则BC 的长为
9.如图1-1-5，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
10.如图1-1-6，一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。
这个梯子顶端离地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
图1-1-2
图1-1-6
C
D B
A 图1-1-5
11.如图1-2-11，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
图1-2-11。