四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角
与角之间的等量转换外，
还可以解决与圆幂定理（相交弦定理和切割线定理）相关的问题。

四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。

一、直接找出一点到所证四点的距离相等
例1如图1所示，菱形ABCD 的对角线AC 、
BD 相交于点O ，四条边AB 、
BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H 。

求证：E 、
F 、
G 、
H 四点共圆。

分析：由于E 、F 、G 、H 是菱形四边中点，从菱形的性质可
知：E 、F 、G 、H 应在对角线交点O 为圆心的圆上，因此可证E 、F 、G 、H 四点到O 点的距离相等即可。

图1
证明：连接OE 、
OF 、OG 、OH ，ȵ四边形ABCD 是菱形，
ʑAB ⊥BD ，AB =BD =CD =DA 。

又ȵ在Rt △AOB 、
Rt △BOC 、Rt △COD 、Rt △AOD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、
CD 、DA 的中点，
ʑOE =
12AB ，OF =12BC ，OG =12CD ，．．．CZSFD 数学2011．12
OH =12AD 。

又ȵAB =BC =CD =DA （已证），
ʑOE =OF =OG =OH 。

ʑE 、F 、G 、H 四点共圆。

二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角
例2如图2所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，过
点A 和点B 的圆与AD 、
BC 分别交于E 、F 点。

求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。

分析：欲证C 、D 、E 、F 四点共圆，可证以该四点构成的四
边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。

由此，连接EF 构成四边形EFCD 后，证明∠BFE =∠D 即可。

图2证明：连接EF ，
ȵ四边形ABFE 是圆内接四边形，
ʑ∠A +∠BFE =180ʎ。

又ȵ四边形ABCD 是平行四边形，
ʑ∠A +∠D =180ʎ。

ʑ∠BFE =∠D 。

ʑC 、D 、E 、F 四点共圆。

三、利用相交弦定理以及切割线定理的逆定理证明四点
共圆
例3（第19届美国数学奥林匹克试题）如图3所示，给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC'及其延长
线交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高BB'及其延长
线交于点P 、
Q 。

求证：M 、
N 、P 、Q 四点共圆。

分析：由于所证四点M 、
N 、P 、Q 刚好是相交线段MN 与PQ 的端点，不妨设交点为K ，此时只需证明MK ·KN =PK ·KQ 成立即可。

又因为两圆相交，自然想到过A 点作两圆的
公共弦。

由于点K 是重心，AB 是圆的直径，所以公共弦经过
K 点且与BC 的垂足为两圆的另一交点。

利用两圆中的相交弦定理即可证。

证明：连接AK 并延长与BC 相交于E ，
ȵK 为△ABC 高线的交点，
ʑAK ⊥BC ，垂足为E 。

ʑ∠AEB =90ʎ。

又ȵAB 为圆的直径，不妨设两圆另一交点为E'ʑ∠AE'B =90ʎ。

ʑ点E 与点E'重合，即点E 为两圆的交点。

图3在以AB 为直径的圆中，有：
KA ·KE =KN ·KM 。

在以AC 为直径的圆中，有：
KA ·KN =KP ·KQ 。

ʑKN ·KM =KP ·KQ 。

ʑM 、N 、P 、Q 四点共圆。

四、证明线段同侧的两点对线段
的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆
例4（第27届莫斯科数学奥林匹克试题）如图4所示，
A 、
B 、
C 三点共线，点O 在A 、
B 、
C 所在直线外，O 1、O 2、O 3分别为△OAB 、△OBC 、△OCA 的外心。

求证：O、O1、O2、O3四点共圆。

分析：欲证点O、点O1、点O2、点O3四点共圆，可将这四点连结成四边形OO1O3O2，然后证明线段OO1同侧的张角∠OO2O1=OO3O1即可。

证明：分别连接OO1、OO2、OO3、O1O2、O1O3、O2O3、AO3、BO
2
，
ȵO
1、O
2
分别为△OAB、△OBC的外心，
ʑOB是⊙O
1
和⊙O2的公共弦，O1O2是⊙O1和⊙O2的圆心距。

ʑO
1O
2
垂直且平分OB。

图4
在△OBC的外接圆⊙O2中，有：
∠OO2O1=1
2
∠OO2B=∠OCB。

同理可得：∠OO3O1=1
2
∠OO3A
=∠OCA。

ʑ∠OO
2O
1
=∠OO
3
1。

ʑO、O
1、O
2
、O
3
四点共圆。

五、要证五点共圆时，可证明其中两组四点共圆
例5如图5所示，四边形ABCD是圆的内接正方形，对角线AC、BD相交于O点，E、F是劣弧AB、BC的中点，弦DE 分别交AB、AC于点P和点Q，弦DF分别交BC、AC于点S和点R。

求证B、P、Q、R、S五点共圆。

分析：由于点P与点S，点Q与点R关于BD对称，所以只要证明B、P、Q、R四点共圆即可。

从而只需证∠AQP=
∠PBR 。

根据题意可得：∠AQP =45ʎ+
12ˑ45ʎ=67．5ʎ。

因此只需求出∠PBR =67．5ʎ即可，连接BR 即得。

证明：连接BR ，
ȵ四边形ABCD 是正方形，
ʑ∠ABD =∠OAD =∠ADB =∠BDC =45ʎ。

又ȵ点E 为劣弧AB 的中心，
ʑ∠ADE =12∠ADB =12
ˑ45ʎ=22．5ʎȵ∠AQP 是△ADQ 的外角，
ʑ∠AQP =∠QAD +∠QDA =45ʎ+22．5ʎ=67．5ʎ。

ȵ点R 在AC 上，AC 与BD 互相垂直平分
，图5ʑ△BDR 是等腰三角形。

ʑBR =DR ，∠DBR =∠BDR 。

又ȵF 是劣弧BC 的中点。

ʑ∠DBR =∠BDR =12
∠BDC =12
ˑ45ʎ=22．5ʎ
ʑ∠ABR =∠ABD +∠DBR =45ʎ+22．5ʎ=67．5ʎ。

ʑ∠AQP =∠ABR ，即∠AQP =∠PBR 。

ʑB 、P 、Q 、R 共圆。

由于P 、S 、Q 、R 都是关于BD 对称的，由对称可得：
B 、S 、R 、Q 四点也共圆。

ʑB 、P 、Q 、R 、S 五点共圆。